集合論問題集

3 写像

1. (1) 写像とは何か。その定義を書け。
2. (2) 写像が等しいとはどういうことか。その定義を書け。
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1. (1) 集合 $X, Y$ に対して、 $X$ の各元に対して $Y$ の元をひとつずつ対応させる規則を $X$ から $Y$ への写像という。 ( $f$ が $X$ から $Y$ の写像であるとき $f : X → Y$ とかく。)
2. (2) $f : X → Y$ , $g : A → B$ が等しいとは $X = A$ , $Y = B$ であり、任意の $x ∈ X = A$ に対して $f(x) = g(x)$ であることをいう。 (このとき $f = g$ とかく。)
$f : ℝ+ -→ ℝ$ を $x ↦-→ ｱx$ で定めると、これは写像かどうかを答えよ。ただし $ℝ+ = {x > 0|x ∈ ℝ}$ とする。
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写像ではない。なぜなら、 $X$ の各元に対して $Y$ の元が $2$ つ対応しているので定義に反する。
$f : ℕ -→ ℕ$ を $2x ↦-→ x$ で定めると、これは写像かどうかを答えよ。
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写像である。
写像を具体的に一つ作れ。
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$f : ℕ → {0}∪ ℕ$ を $f(x) = x- 1$ で定めるとこれは写像である。
$f : ℕ -→ ℕ$ を $x ↦-→ x + 1, g : ℕ -→ ℝ$ を $x ↦-→ 2x - 3$ で定めたとき、合成写像 $g∘f$ を求めよ。
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合成写像の定義から、 $(g∘f )(x) = g(f(x)) = g(x+ 1) = 2(x + 1)- 3 = 2x - 1$ である。つまり、合成写像は、 $g∘ f : ℕ → ℝ (x ↦→ 2x- 1)$ である。
1. (1) 写像 $f : X → Y$ に対して、像 $f(X )$ の定義を書け。
2. (2) 写像 $f : X → Y$ と $A ⊂ Y$ に対して、 $A$ の逆像 $- 1f (A )$ の定義を書け。
3. (3) $f : ℕ -→ ℕ$ を $x ↦-→ 2x$ で定めたとき $ℕ$ に対する像 $f(ℕ )$ と $A = {2,3,4} ⊂ ℕ$ の逆像 $f-1(A)$ を具体的に書け。
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1. (1) $f(X ) = {f(x) ∈ Y | x ∈ X}$
2. (2) $- 1f (A ) = {x ∈ X | f(x) ∈ A}$
3. (3) $f(ℕ) = {2x | x ∈ ℕ}$ , $f-1(A) = {x ∈ ℕ | 2x ∈ {2,3,4}} = {1,2}$
を写像とする。という記号は異なる意味で用いられることがある。これについて説明せよ。
-
写像に対しては次の意味で用いられる。
1. (1)写像の逆像
  $y ∈ Y$ に対して
  $f- 1(y) = {x ∈ X | f(x) = y}$
  である。また $B ⊂ Y$ に対して
  $- 1 ⋃ -1f (B ) = {x ∈ X | f(x ) ∈ B} = f (b) b∈B$
  である。 $f- 1(y)$ , $f- 1(B )$ ともに $X$ の部分集合である。
2. (2)逆写像
  $f$ が全単射のときに限り、 $f-1$ で $f$ の逆写像を表す。すなわち $y ∈ Y$ に対して $f(x) = y$ となる $x ∈ X$ が唯一つ存在し、 $f-1(y) = x$ である。 $f- 1(y)$ は $X$ の元である。
が全単射であっても (1) の意味で用いることもできる。このときは (1) の意味ならばの (唯一つの要素をもつ) 部分集合、 (2) の意味ならばの一つの元である。この記号だけではどちらであるかの判別は不可能であり、説明がない場合には前後の文脈から理解することとなる。に対するはどちらで理解しても同じものになる。
1. (1) 全射、単射の定義を書け。
2. (2) 写像 $f : X → Y$ に対して $f (X ) = Y ⇐ ⇒$ 「 $∀y ∈ Y$ , $∃x ∈ X$ s.t. $y = f(x)$ 」 (任意の $Y$ の元 $y$ に対して $f(x) = y$ となるような $X$ の元 $x$ が存在する）を示せ。
3. (3) 全射 $f : ℕ → {0} ∪ℕ$ を構成せよ。また、それが全射であることを示せ。
4. (4) 恒等写像以外の単射 $f : ℕ → ℕ$ を構成せよ。また、それが単射であることを示せ。
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1. (1) を写像とする。
  - $f$ が単射であることの定義
    $X$ の元 $x, y$ に対して、 $x ⁄= y ⇒ f(x) ⁄= f(y)$ が成り立つとき $f$ は単射であるという。 (任意の $X$ の元 $x, y$ に対して、 $f(x) = f(y) ⇒ x = y$ が成り立つときとしてもよい。）
  - $f$ が全射であることの定義
    $f(X) = Y$ が成り立つとき $f$ が全射であるという。（任意の $Y$ の元 $y$ に対して $f (x) = y$ となるような $X$ の元 $x$ が存在するときとしてもよい。）
2. (2)
  - $f(X) = Y$ であるから $f(X ) ⊃ Y$ である。すなわち、任意の $Y$ の元 $y$ に対して $f(x) = y$ となるような $X$ の元 $x$ が存在する。
  - 写像の定義から $f(X ) ⊂ Y$ で、仮定より、 $f(X ) ⊃ Y$ である。よって $f(X) = Y$ である。
3. (3) 問題 4 の写像が全射となっている。
  なぜなら、 ${0} ∪ℕ$ の任意の元 $x$ に対して $x = (x+ 1)- 1 = f(x + 1)$ となって、 $x+ 1$ は $ℕ$ の元である。したがって $f$ は全射である。
4. (4) $f : ℕ → ℕ$ を $x ↦→ 3x$ と定めると単射である。
  なぜなら、任意の $ℕ$ の元 $x$ , $y$ に対して、 $f(x ) = f(y)$ とすると、 $3x = 3y$ だから、 $x = y$ となる。よって $f$ は単射である。
ここで、書いたものは例であり、問題の条件を満たす写像は多数存在する。
1. (1) $f : ℝ → ℝ$ を $f(x) = x + 1$ で定めるとき、 $f$ は単射であることを示せ。
2. (2) $f : ℝ → ℝ$ を $f(x) = 2x$ で定めるとき、 $f$ は全射であることを示せ。
3. (3) $f : ℤ → ℤ$ を $f(x) = 2x$ で定めるとき、 $f$ は単射であるが全射でないことを示せ。
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1. (1) $f(x) = f (y)$ とする。このとき $x+ 1 = y + 1$ なので $x = y$ である。
2. (2) $r ∈ ℝ$ とする。 $r∕2 ∈ ℝ$ であり $f (r∕2) = r$ である。
3. (3) $f(x) = f (y)$ とする。 $2x = 2y$ なので $x = y$ であり、よって $f$ は単射である。 $1 ∈ ℤ$ に対して $1 = f(x) = 2x$ となる $x ∈ ℤ$ は存在しないので $f$ は全射ではない。
1. (1) 全単射の定義を書け。
2. (2) 閉区間 $[a,b]$ から閉区間 $[c,d]$ への全単射を具体的に構成せよ。ただし、ここで $a < b$ , $c < d$ であるとする。
3. (3) $ℤ$ から $ℕ$ への全単射を具体的に構成せよ。（ちょっと難かしい。）
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1. (1) 写像 $f$ が全単射であるとは、 $f$ が全射かつ単射であることである。 (任意の $y ∈ Y$ に対して $f(x) = y$ となる $x ∈ X$ がただひとつ定まるとしてもよい。）
2. (2) $d- cf(x) = ----(x- a)+ c b- a$ と定めると全単射である。 (点 $(a, c)$ を通る傾き $d- c-----b- a$ の直線である。)
3. (3) $f : ℤ → ℕ$ を
  $(| 2x if x > 0f(x) = { |( 1 if x = 0 - 2x +1 if x < 0$
  で定めるとこれは全単射である。
1. (1) $ℕ$ から $ℕ$ への単射ではあるが全射ではない写像を具体的に一つ構成せよ。
2. (2) $ℕ$ から $ℕ$ への全射ではあるが単射ではない写像を具体的に一つ構成せよ。
3. (3) $ℝ$ から $ℝ$ への単射ではあるが全射ではない写像を具体的に一つ構成せよ。
4. (4) $ℝ$ から $ℝ$ への全射ではあるが単射ではない写像を具体的に一つ構成せよ。
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1. (1) $f(n) = n+ 1 (n ∈ ℕ)$
2. (2) ${ f(1) = 1 f(n) = n - 1 (n ∈ ℕ,n ≥ 2)$
3. (3) $f(x) = ex (x ∈ ℝ )$
4. (4) $3f(x) = x - x (x ∈ ℝ)$
条件を満たす写像は他にもたくさんある。
写像について以下の問に答えよ。
1. (1) $f$ が全射のとき、 $Y ⊃ B$ に対して、 $f(f -1(B )) = B$ であることを示せ。
2. (2) 一般には $f(f-1(B)) = B$ は正しくない。この式が成り立たないような例をあげよ。
3. (3) $f$ が単射のとき、 $X ⊃ A$ に対して、 $-1f (f(A )) = A$ であることを示せ。
4. (4) 一般には $f-1(f(A)) = A$ は正しくない。この式が成り立たないような例をあげよ。
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1. (1)
  - ) $-1x ∈ f(f (B ))$ とする。ある $-1y ∈ f (B )$ が存在して、 $x = f(y)$ となる。ここで、 $-1y ∈ f (B )$ より、 $f(y) ∈ B$ となって（逆像の定義） $x = f (y) ∈ B$ である。
  - ) $x ∈ B$ とする。 $f$ は全射なので、ある $y ∈ X$ が存在して、 $f(y) = x$ となる。ここで $f(y) = x ∈ B$ なので $-1y ∈ f (B)$ である。したがって $-1x = f(y) ∈ f(f (B))$ である。
  以上から、となる。
2. (2) $X = Y = ℤ$ とし $f : ℕ → ℕ$ を定値写像 $f (a) = 0$ ( $∀a ∈ ℤ$ ) とする。このとき $B = {1}$ とすれば $f- 1(B ) = ϕ$ であり $f(f- 1(B )) = ϕ ⁄= B$ である。
3. (3)
  - ) $x ∈ f- 1(f(A))$ とする。 $f (x) ∈ f (A )$ となって、像の定義より、ある $y ∈ A$ が存在して $f(x) = f (y)$ となる。 $f$ は単射なので $x = y ∈ A$ である。
  - ) $x ∈ A$ とする。 $f(x) ∈ f(A)$ で、逆像の定義より、 $x ∈ f-1(f (A ))$ である。
  以上から、となる。
4. (4) $X = Y = ℤ$ とし $f : ℕ → ℕ$ を定値写像 $f (a) = 0$ ( $∀a ∈ ℤ$ ) とする。このとき $A = {1}$ とすれば $f(A ) = {0}$ であり $f- 1(f(A )) = ℤ ⁄= A$ である。
を写像とし , とする。
1. (1) $f(X ∪ Y) = f(X) ∪f(Y )$ を示せ。
2. (2) $f(X ∩ Y) ⊂ f(X) ∩f(Y )$ を示せ。また $f(X ∩ Y) = f(X) ∩f(Y )$ は成り立つかどうかを考察し、成り立つならば証明し、成り立たないならば、反例を挙げよ。
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1. (1)
  - ) $b ∈ f(X )∪f (Y )$ とする。このとき $b ∈ f(X )$ または $b ∈ f(Y )$ である。 $b ∈ f(X )$ とすると、ある $x ∈ X$ があって $b = f(x)$ である。このとき $x ∈ X ⊂ X ∪Y$ なので $b = f(x) ∈ f(X ∪ Y )$ である。 $b ∈ f(Y)$ のときもまったく同様にして $b ∈ f(X ∪ Y)$ となる。よって $f(X ∪Y ) ⊃ f(X )∪ f(Y )$ である。
  - ) $x ∈ f(X ∪ Y)$ とする。このとき、ある $a ∈ X ∪ Y$ が存在して $f(a) = x$ である。 $a ∈ X$ ならば $x = f (a) ∈ f(X )$ であり、 $a ∈ Y$ ならば $x = f(a) ∈ f(Y)$ なので $x ∈ f(X )∪ f(Y)$ である。よって $f(X ∪Y ) ⊂ f(X )∪ f(Y)$ である。
  以上から、となる。
2. (2)
  - $b ∈ f(X ∩ Y)$ とする。ある $x ∈ X ∩Y$ があって $b = f(x)$ である。 $x ∈ X$ より $b = f(x) ∈ f(X )$ であり、 $x ∈ Y$ より $b = f(x) ∈ f(Y )$ である。よって $b ∈ f(X) ∩f(Y )$ となり $f(X ∩ Y) ⊂ f(X)∩ f(Y )$ が成り立つ。
  - $f(X ∩Y ) = f(X )∩ f(Y)$ は成り立たない。
    (反例） $f : {0, 1} → {a}$ を $f(0) = f(1) = a$ と定め、 $X = {0}$ , $Y = {1}$ とすると、 $f(X) = {a}$ , $f(Y) = {a}$ である。よって $f(X ∩ Y) = f(ϕ ) = ϕ ⁄= {a} = f(X )∩f (Y )$ であるから等号は成立しない。
$f : A → B$ を写像、 $b,b′ ∈ B$ で $b ⁄= b′$ とする。このとき $f-1(b) ∩f- 1(b′) = ϕ$ であることを示せ。
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$f-1(b) ∩f- 1(b′) ⁄= ϕ$ と仮定し $a ∈ f-1(b)∩ f-1(b′)$ とする。定義により $b = f(a) = b′$ であるが、 $b ⁄= b′$ の仮定に反する。よって $f- 1(b)∩ f-1(b′) = ϕ$ である。
$f : X -→ Y$ , $g : Y -→ Z$ について、 $f$ , $g$ ともに単射ならば $g∘ f$ も単射であることを示せ。
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$x, y ∈ X$ に対して $(g∘ f)(x) = (g ∘f)(y)$ とする。このとき $g(f(x)) = g(f(y))$ となって、 $g$ が単射なので、 $f(x) = f(y)$ 。さらに、 $f$ も単射だから $x = y$ 。すなわち、 $g ∘f$ は単射である。
$f : X -→ Y$ , $g : Y -→ Z$ について、 $f,g$ ともに全射ならば $g ∘f$ も全射であることを示せ。
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$x ∈ Z$ とする。 $g$ が全射だから適当な $y ∈ Y$ が存在して、 $x = g(y)$ となる。また $f$ も全射だから、適当な $z ∈ X$ が存在して $y = f (z)$ となる。このとき $x = g(y) = g(f(z)) = (g∘f )(z)$ 。であるから $g ∘f$ は全射である。
, について、が全単射であるとき「が単射である」「も単射である」を示せ。
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- ) $x, y ∈ X$ に対して、 $(g∘f )(x) = (g ∘f)(y)$ とする。このとき $g(f(x)) = g(f (y))$ となり、 $g$ , $f$ ともに単射であるから、 $x = y$ となる。。すなわち $g ∘f$ は単射である。
- ) $x, y ∈ Y$ に対して、 $g(x) = g(y)$ とする。 $f$ は全単射だから、 $x = f(a)$ , $y = f(b)$ となる $a$ , $b ∈ X$ 存在する。このとき、 $g(f(a)) = g(x) = g(y) = g(f(b))$ となる。 $g ∘f$ は単射なので、 $a = b$ である。よって $x = f(a) = f (b) = y$ である。以上より $g$ は単射である。
, について、が全射ならばは全射であることを示せ。
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- 元をとって考える
- 像で考える
の二つの方法で解いてみることにする。

[解答 1]

$z ∈ Z$ とする。 $g∘f$ は全射だから、 $z = (g ∘f)(x) = g(f(x))$ となる $x ∈ X$ が存在する。 $f(x) ∈ Y$ なので $g$ は全射である。

[解答 2]

$g ∘f$ は全射なので $Z = (g ∘f)(X) = g(f (X )) ⊂ g(Y) ⊂ Z$ である。よって $Z = g(Y)$ となり $g$ は全射である。
$f : X -→ Y$ , $g : Y -→ Z$ について、 $g∘ f$ が単射ならば $f$ は単射であることを示せ。
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$f(x) = f(x′)$ とする。このとき $g∘f (x) = g(f (x)) = g(f(x′)) = g∘f (x′)$ である。 $g∘ f$ は単射なので $x = x ′$ となる。
$f : X -→ Y$ について、 $f$ が全単射であるための必要十分条件は、 $g : Y -→ X$ で $g∘f = idX$ かつ $f ∘g = idY$ なるものが存在することである。これを示せ。ただし $idX$ は $X$ の恒等写像を表すものとする。
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$f$ が全単射とすれば、 $f$ は逆写像 $- 1f$ をもつ。 $- 1g = f$ とすれば、これは $g∘ f = idX$ , $f ∘ g = idY$ を満たす。 $g : Y -→ X$ を $g ∘f = idX$ かつ $f ∘g = idY$ を満たすものとする。恒等写像は全単射なので $f ∘g = idY$ と問題 18 より $f$ は全射である。また $g ∘f = idX$ と問題 19 より $f$ は単射である。よって $f$ は全単射である。
とする。をで定義する。このとき以下を証明せよ。
1. (1) $f$ が単射ならば $f *$ は単射である。
2. (2) $f$ が全射ならば $f*$ は全射である。
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1. (1) $x, y ∈ Map (A, B)$ に対して、 $f*(x ) = f*(y)$ であるとする。任意の $a ∈ A$ に対して、 $(f*(x ))(a) = (f*(y))(a)$ 、すなわち $f(x(a)) = f(y(a))$ である。ここで、 $f$ は単射なので、 $x(a) = y(a)$ となる。 $a ∈ A$ は任意なので $x = y$ となる。したがって $f*$ は単射である。
2. (2) $x ∈ Map(A, C )$ とする。 $f : B → C$ は全射なので、各 $a ∈ A$ に対して $x (a) = f(ba)$ なる $ba ∈ B$ が存在する。このとき $y : A → B$ を $y(a) = ba$ で定めれば (実はここで選択公理が必要である)、 $f*(y)(a) = f(y(a)) = f(ba) = x(a)$ となり $f*(y) = x$ である。よって $f*$ は全射である。
を集合、をの部分集合、をの部分集合とする。
このときに対して以下が成立することを示せ。
1. (1) $A ⊂ B =⇒ f(A) ⊂ f (B )$
2. (2) $f(A - B) ⊃ f(A)- f(B)$
3. (3) $-1 -1C ⊂ D = ⇒ f (C) ⊂ f (D)$
4. (4) $f- 1(Y - D ) = X - f-1(D )$
5. (5) $f- 1(C ∩ D) = f-1(C)∩ f-1(D)$
6. (6) $-1f(f (C )) = C ∩ f(X )$
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1. (1) $x ∈ f(A )$ とする。このとき、ある $y ∈ A$ が存在して、 $x = f(y)$ となる。ここで $A ⊂ B$ だから、 $y ∈ B$ となって、 $x ∈ f(B)$ である。したがって $f(A) ⊂ f(B)$ である。
2. (2) $x ∈ f(A )- f(B)$ とする。このとき $x ∈ f (A )$ かつ $x ⁄∈ f(B)$ である。よって、ある $a ∈ A$ が存在して $x = f(a)$ となる。 $a ∈ B$ とすると $x = f(a) ∈ f(B )$ となり矛盾が生じるので $a ⁄∈ B$ である。したがって $a ∈ A- B$ となり $x ∈ f(A - B)$ である。よって $f(A- B ) ⊃ f(A) - f(B )$ が成り立つ。
3. (3) $-1x ∈ f (C)$ とする。このとき $f(x) ∈ C$ である。 $C ⊂ D$ なので、 $f(x) ∈ D$ である。よって $-1x ∈ f (D)$ となる。したがって $-1 - 1f (C ) ⊂ f (D )$ となる。
4. (4)
  - ) $x ∈ f- 1(Y - D )$ とする。 $f(x) ∈ Y - D$ となるので、 $f(x) ∈ Y$ かつ $f(x) ⁄∈ D$ である。したがって、 $x ∈ f -1(Y ) = X$ , $x ⁄∈ f-1(D )$ となって、 $x ∈ X - f- 1(D )$ である。 $f-1(Y - D) ⊂ X - f-1(D)$ が成り立つ。
  - ) $x ∈ X - f- 1(D )$ とする。 $x ∈ X$ かつ $x ⁄∈ f-1(D )$ である。よって、 $f(x) ∈ f(X ) ⊂ Y$ , $f (x) ⁄∈ D$ であり $f(x) ∈ Y - D$ となる。したがって $x ∈ f-1(Y - D)$ となる。よって $f-1(Y - D) ⊃ X - f-1(D)$ である。
  以上からが成り立つ。
5. (5)
  - ) $x ∈ f- 1(C ∩ D)$ とする。 $f(x) ∈ C ∩ D$ となるので、 $f(x) ∈ C$ かつ $f(x) ∈ D$ である。したがって、 $x ∈ f- 1(C )$ かつ $x ∈ f-1(D )$ となり、 $x ∈ f-1(C) ∩f- 1(D )$ である。よって $f-1(C ∩D ) ⊂ f- 1(C )∩ f-1(D)$ である。
  - ) $x ∈ f- 1(C )∩f -1(D )$ とする。 $x ∈ f-1(C)$ かつ $x ∈ f-1(D )$ である。よって $f(x) ∈ C$ かつ $f(x) ∈ D$ である。すなわち $f(x) ∈ C ∩ D$ であり、 $x ∈ f-1(C ∩ D )$ となる。したがって $f-1(C ∩D ) ⊃ f- 1(C )∩f -1(D )$ となる。
  以上から、が成り立つ。
6. (6)
  - ) $x ∈ f(f-1(C))$ とする。ある $y ∈ f-1(C )$ が存在して $x = f(y)$ となる。ここで、 $f(y) ∈ C$ だから、 $x = f (y) ∈ C$ である。また $y ∈ f-1(C) ⊂ X$ だから、 $f(y) ∈ f (X )$ である。よって $x ∈ C ∩f (X )$ となる。 $f (f- 1(C )) ⊂ C ∩f (X )$ が成り立つ。
  - ) $x ∈ C ∩ f(X)$ とする。 $x ∈ C$ かつ $x ∈ f(X)$ である。ある $y ∈ X$ が存在して $x = f(y)$ となる。 $f(y) = x ∈ C$ だから、 $y ∈ f-1(C)$ である。したがって $x = f(y) ∈ f(f-1(C))$ となる。よって $f(f-1(C)) ⊃ C ∩ f(X)$ である。
  以上から、が成り立つ。
$a ∈ Y$ を一つ固定する。 $Ca : X → Y$ を $x ↦→ a$ で定義する。このとき $Y$ の各元に対する逆像を求めよ。
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$f-1(a) = X$ , $f -1(x) = ϕ (x ⁄= a)$
このように集合 $X$ の任意の元を集合 $Y$ の唯一つの元 $a$ へうつす写像を $a$ への定値写像という。
集合 $X$ から $Y$ へ全単射が存在するとき $X$ のべき集合 $2X$ から $Y$ のべき集合 $2Y$ へ全単射が存在することを示せ。
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$f : X → Y$ を全単射とする。このとき、 $˜f : 2X → 2Y$ を、 $A ∈ 2X$ に対して $f˜(A) = f(A)$ で定めると、これが全単射であることを示す。
$g : Y → X$ を $f$ の逆写像とし $˜f$ と同様に写像 $˜g : 2Y → 2X$ を定義する。このとき $˜g∘ ˜f = id2X$ と $˜f ∘˜g = id2Y$ を示せば、問題 20 より $˜f$ は全単射である。 $XA ∈ 2$ とするとき問題 22 (6) より $-1 Yg(g (A)) = A ∩ g(2 )$ であるが、 $g$ は全射なので $Y Xg(2 ) = 2$ であり、よって $-1g(g (A )) = A$ である。これは $˜˜g∘ f = id2X$ を意味する。同様に $˜f ∘ ˜g = id2Y$ も成り立ち $˜f$ は全単射である。
写像 $f : X → Y$ , $g,h : Y → X$ が $g∘f = idX$ , $f ∘h = idY$ を満たすならば、 $f$ は全単射で、 $g = h$ であることを示せ。
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問題 18, 19 より、 $f$ は全単射である。また $g = g∘idY = g∘ (f ∘h ) = (g∘f) ∘h = idX ∘ h = h$ である。
集合 $X$ の部分集合 $A$ に対して、 $fA ∈ Map (X, ℝ)$ を ${1, x ∈ A,fA(x) = 0, x ⁄∈ A$ で定める。 (これを $A$ の特性関数という。) $A$ , $B$ を $X$ の部分集合とすると、任意の $x ∈ X$ に対して
$fA∩B(x) = fA (x)fB(x), fA∪B(x) = fA(x)+ fB(x)- fA∩B (x)$
であることを示せ。
-

まず $fA∩B(x) = fA(x)fB(x)$ を示す。 $x ∈ A∩ B$ のとき $fA(x) = 1 = fB(x)$ なので $fA (x)fB(x) = 1$ である。それ以外の場合には $fA(x) = 0$ または $fB(x) = 0$ なので $fA(x)fB(x) = 0$ である。よって $fA∩B(x) = fA (x )fB (x)$ である。 $fA∪B(x) = fA (x )+ fB(x)- fA∩B(x)$ を示す。 (1) $x ∈ A ∩ B$ , (2) $x ∈ A∩ Bc$ , (3) $x ∈ Ac ∩ B$ , (4) $x ∈ Ac ∩Bc$ の四つの場合に分けて考える。 (1) のとき $(右辺 ) = 1 + 1- 1 = 1 = (左辺)$ である。 (2) のとき $(右辺 ) = 1+ 0 - 0 = 1 = (左辺 )$ である。 (3) のとき $(右辺 ) = 0+ 1- 0 = 1 = (左辺)$ である。 (4) のとき $(右辺 ) = 0 + 0- 0 = 0 = (左辺 )$ である。よっていずれの場合も $fA∪B (x) = fA(x)+ fB(x)- fA∩B (x)$ が成り立つ。
, とし、写像を $f(1) = a, f(2) = b, f(3) = b, f(4) = a, f(5) = b$ で定める。このとき、以下のものを求めよ。
1. (1) $f(X )$
2. (2) $f({1,2})$
3. (3) $f({1,4})$
4. (4) $f- 1(a)$
5. (5) $- 1f (c)$
6. (6) $f- 1({a,c})$
-
1. (1) ${a,b}$
2. (2) ${a,b}$
3. (3) ${a}$
4. (4) ${1,4}$
5. (5) $ϕ$ (空集合)
6. (6) ${1,4}$
, とする。またに対して
$(a,b) = {r ∈ ℝ | a < r < b}, (開区間 )[a,b] = {r ∈ ℝ | a ≤ r ≤ b}, (閉区間 )(a,b] = {r ∈ ℝ | a < r ≤ b}, (半開区間 )[a,b) = {r ∈ ℝ | a ≤ r < b}, (半開区間 )$
の記号を用いる。これらはいずれもの部分集合と見る。このとき、以下のものを求めよ。
1. (1) $f([0,1])$
2. (2) $f([- 1,1])$
3. (3) $f- 1(4)$
4. (4) $- 1f ([0,1])$
5. (5) $f- 1([- 1,1])$
6. (6) $f(f-1([0,1]))$
7. (7) $-1f(f ([- 1,1]))$
8. (8) $f([- 1,2])$
9. (9) $f([- 1,0])$
10. (10) $f([- 1,2]- [- 1,0])$
11. (11) $f([- 1,2]) - f ([- 1,0])$
-
1. (1) $f([0,1]) = [0,1]$
2. (2) $f([- 1,1]) = [0,1]$
3. (3) $- 1f (4) = {- 2,2}$
4. (4) $f- 1([0,1]) = [- 1,1]$
5. (5) $f- 1([- 1,1]) = [- 1,1]$
6. (6) $-1f(f ([0,1])) = f([- 1,1]) = [0,1]$
7. (7) $f(f-1([- 1,1])) = f([- 1,1]) = [0,1]$
8. (8) $f([- 1,2]) = [0,4]$
9. (9) $f([- 1,0]) = [0,1]$
10. (10) $f([- 1,2]- [- 1,0]) = f((0,2]) = (0,4]$
11. (11) $f([- 1,2]) - f ([- 1,0]) = [0,4]- [0,1] = (1,4]$
写像をで定める。このとき、以下のものを求めよ。
1. (1) $f(ℝ)$
2. (2) $- 1f (0)$
3. (3) $f- 1(6)$
-
1. (1) $ℝ$
2. (2) ${- 1,0,1}$
3. (3) ${2}$
は単射であるとする。とについて「」であることを示せ。
-
- ) $x ∈ A$ ならば、 $f (A )$ の定義より $f(x) ∈ f(A)$ である。
- ) $f(x) ∈ f(A )$ とする。ある $a ∈ A$ があって $f(x) = f(a)$ となる。このとき $f$ が単射であることから $x = a$ となり $x ∈ A$ である。
, とする。
1. (1) $g ∘f$ が単射で、 $g$ が単射ではない例を作れ。
2. (2) $g ∘f$ が全射で、 $f$ が全射ではない例を作れ。
-
1. (1) $A = {1}$ , $B = {1,2}$ , $C = {1}$ とし、 $f : A → B$ を $f(1) = 1$ , $g : B → C$ を $g(1) = g(2) = 1$ で定める。このとき $g$ は単射ではない。また $g ∘f : A → C$ は $f(1) = 1$ で定まるものであり、単射である。
2. (2) (1) と同じ $A,B, C,f,g$ が条件を満たしている。すなわち $f$ は全射でなく、 $g ∘f$ は全射である。
, を写像とする。
1. (1) $g ∘f$ が全射で $g$ が単射ならば $f$ は全射であることを示せ。
2. (2) $g ∘f$ が単射で $f$ が全射ならば $g$ は単射であることを示せ。
-
1. (1) $y ∈ Y$ とする。 $g(y) ∈ Z$ に対して、 $g∘ f$ が全射なので、ある $x ∈ X$ があって $g(y) = g ∘f(x) = g(f(x))$ である。 $g$ が単射なので $y = f(x)$ となる。よって $f$ は全射である。
2. (2) $y,y′ ∈ Y$ について $g(y) = g(y′)$ とする。 $f$ は全射なので、ある $x,x ′ ∈ X$ が存在して $y = f(x)$ , $y′ = f(x′)$ となる。このとき $g ∘f(x) = g(f(x)) = g(y) = g(y′) = g(f(x′)) = g∘f (x′)$ である。 $g∘ f$ は単射なので $x = x ′$ となる。よって $y = f(x) = f(x ′) = y′$ となり $g$ は単射である。
問18、問19 を用いれば (1) の , (2) のは全単射である。これを用いて証明してもよい。
はからへの写像で、任意のに対してをみたすものとする。
1. (1) $f(0) = 0$ であることを示せ。
2. (2) $f(- a) = - f(a)$ であることを示せ。
3. (3) $f$ が単射であることと $f-1(0) = {0}$ であることが同値であることを示せ。
-
1. (1) $f(0) = f(0 - 0) = f(0)- f(0) = 0$ である。
2. (2) $f(- a) = f(0- a) = f(0)- f(a) = - f(a)$ である。
3. (3) $f$ は単射であるとする。 (1) より $-10 ∈ f (0)$ であるから $-1{0} ⊂ f (0)$ である。 $a ∈ ℝ$ を $f(a) = 0$ をみたすものとすると $f(a) = 0 = f (0)$ で、 $f$ が単射であることにより $a = 0$ である。よって $-1f (0) = {0}$ である。 $f- 1(0) = {0}$ とする。 $a,b ∈ ℝ$ について $f(a) = f(b)$ とする。このとき $f(a- b) = f(a)- f(b) = 0$ である。したがって $a- b ∈ f -1(0) = {0}$ となり $a- b = 0$ 、すなわち $a = b$ である。よって $f$ は単射である。
, とする。簡単のため ,, はいずれも空集合ではないとする。次の条件は同値であることを示せ。
1. (1) ある $h : C → B$ が存在して $f = h∘ g$ となる。
2. (2) $′g(a) = g(a)$ ならば $′f(a) = f(a )$ である。
-
1. (1) $⇒$ (2).
  条件を満たす $h : C → B$ が存在したとする。また $′g(a) = g(a)$ とする。このとき $′ ′ ′f(a) = h ∘g(a) = h(g(a)) = h(g(a )) = h∘ g(a ) = f(a )$ である。
2. (2) (1).
  「ならば」が成り立つと仮定し、となるを構成する。を一つ選ぶ。
  - $c ∈ C - g(A)$ に対しては $h(c) = b0$ とする。
  - $c ∈ g(A )$ とする。ある $a ∈ A$ があって $g(a) = c$ である。このとき $h(c) = f(a)$ として、写像が矛盾なく定義できることを示す。これを示すには $g(a) = c = g(a′)$ なる $a,a′ ∈ A$ に対して $f(a) = f(a′)$ となることをいえばよいが、これは仮定から成り立っている。
  上のように定義したに対してであることを示す。とする。このときの定義によりである。よってが成り立つ。
写像 , に対してをで定める。
1. (1) $f$ , $g$ 共に単射であるとき $f ×g$ も単射であることを示せ。
2. (2) $f$ , $g$ 共に全射であるとき $f ×g$ も全射であることを示せ。
-
1. (1) $(f ×g)(a,c) = (f × g)(a′,c′)$ とする。このとき $(f(a),g(c)) = (f(a′),g(c′))$ であるから $f(a) = f (a′)$ , $g(c) = g(c′)$ である。 $f$ , $g$ は共に単射なので $a = a′$ , $c = c′$ となる。よって $(a,c) = (a′,c′)$ となる。よって $f × g$ は単射である。
2. (2) $(b,d) ∈ B × D$ とする。 $b ∈ B$ , $d ∈ D$ である。 $f$ は全射なので、ある $a ∈ A$ があって $f (a) = b$ である。また $g$ は全射なので、ある $c ∈ C$ があって $g(c) = d$ である。このとき $(a,c) ∈ A × C$ であって $(f ×g)(a,c) = (f(a),g(c)) = (b,d)$ となるので $f × g$ は全射である。
$X$ , $Y$ を空でない集合とする。 $X$ から $Y$ への単射が存在するとき、 $Y$ から $X$ への全射が存在することを示せ。
-

$f : X → Y$ を単射とする。このとき $g : X → f(X )$ ( $g(x) = f(x)$ ) が存在して、これは全単射である。 $h : Y → X$ を以瑳のように定義する。 $x0 ∈ X$ を任意にとり、固定する。そして
${ g- 1(y), y ∈ f(x)のときh(y) = x , y ⁄∈ f(x)のとき 0$
とする。このとき $h(Y ) ⊃ h(f(X)) = g- 1(f(X )) = g-1(g(X )) = X$ であるから $h$ は全射である。