代数入門問題集

二項演算、半群、モノイド

集合 $A$ の二項演算の定義を答えよ。
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$A$ の二項演算とは、写像 $A × A → A$ のことである。
集合 $A$ がちょうど二つの要素をもつとする。 $A$ の二項演算はいくつあるか。
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一般に、有限集合 $X$ , $Y$ について $|X | = m$ , $|Y| = n$ とすると、 $X$ から $Y$ への写像は $nm$ 個ある。 $|A× A | = 4$ , $|A| = 2$ であるから、二項演算は $24 = 16$ 個ある。
をなる集合とする。の二項演算で、結合法則をみたすものを具体的に一つ構成せよ。
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例えば以下のようなものがある。
1. (1) 任意の $x,y ∈ A$ に対して $f(x,y) = a$ であるもの。
2. (2) $f(a,a) = f(a,b) = a$ , $f (b,a) = f(b,b) = b$ で定まるもの。
3. (3) $f(a,a) = f(a,b) = f(b,a) = a$ , $f(b,b) = b$ で定まるもの。
4. (4) $f(a,a) = f(b,b) = a$ , $f(a,b) = f(b,a) = b$ で定まるもの。
以下のものは、半群、モノイド、群、そのいずれでもないか、最も適当なものをそれぞれ答えよ。
1. (1) 集合 ${0,1}$ で通常の加法を演算とするもの。
2. (2) 集合 ${0,1}$ で通常の乗法を演算とするもの。
3. (3) 集合 ${-1,1}$ で通常の乗法を演算とするもの。
4. (4) 集合 ${-1,0,1}$ で通常の乗法を演算とするもの。
5. (5) 実数を成分とする $n$ 次正方行列の全体で通常の加法を演算とするもの。
6. (6) 実数を成分とする $n$ 次正方行列の全体で通常の乗法を演算とするもの。
7. (7) 実数を成分とする $n$ 次正則行列の全体で通常の乗法を演算とするもの。
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(1) いずれでもない (2) モノイド (3) 群 (4) モノイド (5) 群 (6) モノイド (7) 群
実数を成分とする $n$ 次正方行列 $A = (aij)$ , $B = (bij)$ , $C = (cij)$ について $(AB )C = A (BC )$ が成り立つことを示せ。
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$AB$ の $(i,j)$ - 成分は $∑n k=1aikbkj$ である。 $(AB )C$ , $A(BC )$ の $(i,j)$ - 成分はそれぞれ
$∑n ∑n ∑n((AB )C)ij = (AB )ikckj = (aiℓbℓk)ckj k=1 k=1 ℓ=1 ∑n ∑n ∑n(A (BC ))ij = aip(BC )pj = aip(bpqcqj) p=1 p=1q=1$
であるから、これらは等しい。

(二つの行列が等しいことの定義は、すべての対応する成分が等しいことである。)
複素数 $α1 = a1 + b1i$ , $α2 = a2 +b2i$ , $α3 = a3 + b3i$ について $(α1α2)α3 = α1(α2α3)$ が成り立つことを示せ。ただし $a1,a2,a3,b1,b2,b3 ∈ ℝ$ で $i$ は虚数単位とする。
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$(α1α2)α3 = ((a1 + b1i)(a2 + b2i))(a3 + b3i) = ((a1a2 - b1b2)+ (a1b2 + b1a2)i)(a3 + b3i) = ((a1a2 - b1b2)a3 - (a1b2 + b1a2)b3)+ ((a1a2 - b1b2)b3 +(a1b2 + b1a2)a3)i = (a1a2a3 - b1b2a3 - a1b2b3 - b1a2b3) +(a1a2b3 - b1b2b3 + a1b2a3 + b1a2a3)iα1 (α2α3) = (a1 + b1i)((a2 + b2i)(a3 + b3i)) = (a1 + b1i)((a2a3 - b2b3)+ (a2b3 + b2a3)i) = (a1(a2a3 - b2b3)- b1(a2b3 + b2a3))+ (a1(a2b3 + b2a3)+ b1(a2a3 - b2b3))i = (a1a2a3 - a1b2b3 - b1a2b3 - b1b2a3) +(a1a2b3 + a1b2a3 + b1a2a3 - b1b2b3)i$
となるから、この二つの値は等しい。
直積集合に
$(a,b)(c,d) = (ac,ad+ bc)$
で二項演算を定める。
1. (1) これが結合法則を満たすことを示せ。 (よってこれは半群である。)
2. (2) 単位元を求めよ。 (よってこれはモノイドである。)
3. (3) 正則元を決定し、その逆元も求めよ。
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1. (1) $((a,b)(c,d))(e,f ) = (ac,ad + bc)(e,f ) = (ace,acf +(ad + bc)e) = (ace,acf + ade+ bce)$ である。また $(a,b)((c,d)(e,f)) = (a,b)(ce,cf + de) = (ace,a(cf + de)+ bce) = (ace,acf + ade+ bce)$ である。よって $((a,b)(c,d))(e,f) = (a,b)((c,d)(e,f))$ であり、結合法則が成り立つ。
2. (2) $(1,0)(a,b) = (a,b)(1,0) = (a,b)$ となるので $(1,0)$ が単位元である。
3. (3) $(a,b)$ について、 $a = 0$ ならば $(0,b)(c,d) = (0,bc) ⁄= (1,0)$ であるから $(a,b)$ は正則元ではない。 $a ⁄= 0$ とする。このとき $-1 2 -1 2(a,b)(a ,- b∕a ) = (a ,- b∕a )(a,b) = (1,0)$ が成り立つ。よって $(a,b)$ が正則元となるための必要十分条件は $a ⁄= 0$ で、そのときの逆元は $-1 2(a ,- b∕a )$ である。
直積集合に
$(a,b)(c,d) = (ac- bd,ad+ bc)$
で二項演算を定める。
1. (1) これが結合法則を満たすことを示せ。
2. (2) 単位元を求めよ。
3. (3) 正則元を決定し、その逆元も求めよ。
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1. (1) 省略。
  
  ( $((a,b)(c,d))(e,f) = (a,b)((c,d)(e,f))$ を計算によって確かめればよい。実は問 6 と本質的に同じである。)
2. (2) $(1,0)(a,b) = (a,b)(1,0) = (a,b)$ となるので $(1,0)$ が単位元である。
3. (3) $(a,b) = (0,0)$ は零元なので正則元ではない。 $(a,b) ⁄= (0,0)$ と仮定する。 $2 2 2 2 2 2 2 2(a,b)(a∕(a + b ),- b∕(a +b )) = (a∕(a + b),- b∕(a + b ))(a,b) = (1,0)$ が成り立つ。よって $(a,b)$ が正則元となるための必要十分条件は $(a,b) ⁄= (0,0)$ で、そのときの逆元は $2 2 2 2(a∕(a + b ),- b∕(a + b))$ である。
直積集合に

$(a,b,c)+ (d,e,f) = (a +d, b+ e, c + f) (a,b,c)(d,e,f) = (ad, ae+ bf, cf)$

で和と積を定める。
1. (1) 積が結合法則を満たすことを示せ。
2. (2) 積に関する単位元を求めよ。
3. (3) 積に関する正則元を決定し、その逆元も求めよ。
4. (4) 和と積が分配法則 $(α+ β)γ = αγ + βγ$ , $α(β +γ ) = αβ + αγ$ を満たすことを示せ。
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1. (1) 省略。
2. (2) $(1,0,1)$ が単位元である。
3. (3) $(a,b,c)$ が正則元になるための必要条件として $a ⁄= 0$ , $c ⁄= 0$ がすぐに分かる。 $a ⁄= 0$ , $c ⁄= 0$ と仮定する。このとき $(a,b,c)(1∕a, - b∕ac, 1∕c) = (1∕a, - b∕ac, 1∕c)(a,b,c) = (1,0,1)$ が確認できる。よって $(a,b,c)$ が正則となるための必要十分条件は $a ⁄= 0$ かつ $c ⁄= 0$ であることで、このとき逆元は $(1∕a, - b∕ac, 1∕c)$ である。
4. (4) 計算によって確かめるだけなので省略する。
$M2(ℝ)$ を実数を成分とする $2$ 次正方行列全体の集合とする。 $P,Q ∈ M2 (ℝ )$ に対して $[P,Q] = P Q - QP$ によって二項演算を定める。これが結合法則を満たさないことを示せ。
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$Eij$ で $(i,j)$ - 成分が $1$ で、他の成分がすべて $0$ である $2$ 次正方行列を表すことにする。このとき
$[[E11,E11],E12] = 0, [E11,[E11,E12]] = E12$
となり、結合法則は成り立たない。
(結合法則が成り立たないことを示すには、成り立たないような例を一つ挙げればよい。)
$|A| = 2$ なる可換半群を一つ具体的に構成せよ。また $|A | = 2$ なる非可換な半群を一つ具体的に構成せよ。
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$A = {a,b}$ とする。任意の $x,y ∈ A$ に対して $xy = a$ で定まるものは可換半群である。 $aa = ab = a$ , $ba = bb = b$ で定まるものは非可換半群である。
半群であるがモノイドではないものの例を一つ挙げよ。
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例えば、 $2ℤ = {2a | a ∈ ℤ}$ で演算として乗法を考えたもの。
モノイドであるが群ではないものの例を一つ挙げよ。
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例えば、 $ℤ$ で演算として乗法を考えたもの。
モノイドの単位元はただ一つ存在することを示せ。
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$e,e′$ を共に単位元とする。このとき $e = ee′ = e′$ であるから $e = e′$ である。よって単位元はただ一つである。
モノイドの正則元に対して、その逆元はただ一つ存在することを示せ。
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$e$ を単位元とする。 $a$ をモノイドの正則元とし $b,b′$ を共に $a$ の逆元とする。このとき $b = b1 = b(ab′) = (ba)b′ = 1b′ = b′$ であるから $b = b′$ である。よって $a$ の逆元はただ一つである。
$M$ をモノイドとし、 $a$ を $M$ の正則元とする。写像 $f : M → M$ を $f(m ) = am$ によって定めれば $f$ は全単射であることを示せ。
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(単射であること) $f(m) = f(m′)$ とする。 $am = am ′$ である。 $a$ は正則元なので、逆元 $a-1$ が存在する。 $a-1$ を $am = am′$ に左からかければ $m = m′$ となる。よって $f$ は単射である。

(全射であること) $m ∈ M$ とする。このとき $f(a-1m) = a(a-1m) = m$ となるので $f$ は全射である。

[別解] $g : M → M$ を $-1g(m ) = a m$ で定める。このとき $fg = gf = idM$ となるので $f$ は全単射である。
$A = {0,1}$ は通常の乗法によって半群になっている。このとき演算表 (乗法表) を
$|0 1-0-|0-0-- 1 |0 1$
のように書く。 $A = {0,1,- 1}$ も通常の乗法によって半群になっている。この半群の乗法表を書け。

$|----|0---1----1- 0 |0 0 0 1 |0 1 - 1 - 1 0 - 1 1$