距離空間論演習問題第11回

問題 1.
次の Euclid 空間の部分集合それぞれのについて、有界か、閉集合か、そして compact かどうかを考えよ。
1. (a) ${(x1,x2) ∈ ℝ2 | x21 + x22 = 1}$
2. (b) ${(x1,x2) ∈ ℝ2 | x21 - x22 = 1}$
3. (c) $2{(x1,x2) ∈ ℝ | |x1|+|x2| = 1}$
4. (d) $ℝ$ の部分集合として ${1n | n = 1,2,⋅⋅⋅}∪ {0}$
5. (e) ${(x1,x2,x3) ∈ ℝ3 | x1 + x2 +x3 = 1,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0,x3 ≥ 0}$
6. (f) $3{(x1,x2,x3) ∈ ℝ | x1 + x2 +x3 = 1,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0}$
7. (g) $2 2 2{(x1,x2,x3) ∈ ℝ3 | x14 + x29 + x136 = 1}$
8. (h) ${(x1,x2,⋅⋅⋅ ,xn) ∈ ℝn | x1,⋅⋅⋅ ,xn ∈ ℤ, x21 + ⋅⋅⋅+x2n < 100}$
解説:
式で定義されている集合では、閉集合かどうかは $=$ や $≤$ で定義されているかどうかをみるとよい。正確には、次のことを用いる:
$(X,dX )$ と $(Y,dY)$ が距離空間で
$f : X -→ Y$
が連続写像のとき、 $A$ が $Y$ の閉集合ならば $f-1(A)$ は $X$ の閉集合である。
今、連続写像
$nf : ℝ -→ ℝ$
に対し $A = {0}$ は $ℝ$ の閉集合だから
$f-1({0}) = {x ∈ ℝn | f (x ) = 0}$
は閉集合となる。同様に $[0,∞ )$ も $ℝ$ の閉集合だから
$f-1([0,∞ )) = {x ∈ ℝn | f (x ) ≥ 0}$
も閉集合になる。
また考えている集合 $K$ が有界であることを示すには
$K ⊂ U (0;ε)$
となる $ε$ を見付ければよい。逆に、有界ではないことを示すには、任意の $ε > 0$ に対し
$d(x, 0) > ε$
となる $x ∈ K$ を見つければよい。または
$ln→im∞ d(xn,0) = ∞$
となる $K$ の中の点列 ${x }∞ n n=1$ を見つければよい。

解答:
1. (a) 有界かつ閉集合、よって Heine-Borel の定理よりコンパクトである。
  ( $∵$ ) 有界であることは、例えば
  ${(x1,x2) ∈ ℝ2 | x2+ x2 = 1} ⊂ {(x1,x2) ∈ ℝ2 | x2 + x2< 2} = U(0;√2) 1 2 1 2$
  であることから分かる。閉集合であることは、連続関数
  $f(x ,x ) = x2+ x2 - 1 1 2 1 2$
  を「解説」のように用いれば分かる。
2. (b) 閉集合であるが有界でない。よって Heine-Borel の定理よりコンパクトではない。
  ( $∵$ ) 点列
  $∘ ----2-xn = ( 1+ n ,n)$
  は $2 2 2{(x1,x2) ∈ ℝ | x1 - x2 = 1}$ の中の点列であるが
  $∘ -------d(xn,0 ) = 2n2 + 1 → ∞ (n → ∞ )$
  である。よって有界ではない。
  閉集合であることは、連続関数
  $f(x1,x2) = x21 - x22 - 1$
  を「解説」のように用いれば分かる。
3. (c) 有界かつ閉集合、よって Heine-Borel の定理よりコンパクトである。
  ( $∵$ ) 有界であることは
  $-{(x1,x2) ∈ ℝ2 | |x1|+ |x2| = 1} ⊂ {(x1,x2) ∈ ℝ2 | x21 + x22 < 2} = U(0;√2)$
  であることから分かる。
  閉集合であることは、連続写像
  $f(x1,x2) = |x1|+ |x2|- 1$
  を「解説」のように用いれば分かる。
4. (d) 有界かつ閉集合、よって Heine-Borel の定理よりコンパクトである。
  ( $∵$ ) 有界であることは
  $1{n | n = 1,2,⋅⋅⋅} ∪ {0} ⊂ (- 2,2) = U (0;2)$
  であることから分かる。
  閉集合であることは、中間試験の問題だったから全員知っているはず。
5. (e) 有界かつ閉集合、よって Heine-Borel の定理よりコンパクトである。
  ( $∵$ ) 有界であることは
  ${(x1,x2,x3) ∈ ℝ3 | x1 + x2 + x3 = 1,x1 ≥ 0,x2 Ȧ 0,x3 ≥ 0} 3 2 2 2⊂ {x ∈ ℝ | x1 + x2 +x 3 ≤ 1}⊂ U(0;2)$
  であることから分かる。
  閉集合であることは次のように考えるとよい: 連続関数
  $f1(x1,x2,x3) = x1f (x ,x ,x ) = x 2 1 2 3 2f3(x1,x2,x3) = x3 g(x ,x ,x ) = x + x + x - 1 1 2 3 1 2 3$
  を用いて
  $3A1 = {x ∈ ℝ | f1(x) ≥ 0}A2 = {x ∈ ℝ3 | f2(x) ≥ 0} 3A3 = {x ∈ ℝ | f3(x) ≥ 0} B = {x ∈ ℝ3 | g(x) = 0}$
  と定義すると、「解説」に書いたことからこれらは全て閉集合である。また
  $3{(x1,x2,x3) ∈ ℝ | x1 + x2 + x3 = 1,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0,x3 ≥ 0} = A1 ∩ A2 ∩A3 ∩ B$
  となり、閉集合の共通部分として閉集合であることが分かる。
6. (f) 閉集合であるが有界でない。よって Heine-Borel の定理よりコンパクトではない。
  ( $∵$ ) 点列
  $xn = (n,1,- n)$
  はこの集合の元であるが
  $∘ -------d(xn,0 ) = 2n2 + 1 → ∞ (n → ∞ )$
  である。よって有界ではない。
  閉集合であることは、前問と同様にして示される。
7. (g) 有界かつ閉集合、よって Heine-Borel の定理よりコンパクトである。
  ( $∵$ ) 有界であることは
  ${(x1,x2,x3) ∈ ℝ3 | x21+ x22+ x23-= 1} 3 42 92 162⊂ {(x1,x2,x3) ∈ ℝ | x1 + x2 + x3 = 16}⊂ U (0;5)$
  であることから分かる。
  閉集合であることは、連続関数
  $x2 x2 x2f (x1,x2,x3) =-14 + 92+ 136 - 1$
  を「解説」のように用いれば分かる。
8. (h) コンパクトである。よって Heine-Borel の定理より有界かつ閉集合である。
  ( $∵$ ) 原点からの距離が $10$ 未満で全ての座標が整数の点は有限個しかない。 7/5 の演習問題 8 より、これはコンパクトである。
  よって Heine-Borel の定理より有界閉集合となる。
問題 2.
$A$ と $B$ が距離空間 $X$ の部分集合で共に compact のとき $A ∪ B$ も compact になることを示せ。

解答:
$A ∪ B$ の開被覆
$⋃ Uλ ⊃ A ∪Bλ∈Λ$
をとる。
$A∪ B ⊃ A,B$
より、これは $A$ の開被覆でもあり、 $B$ の開被覆でもある。 $A$ も $B$ も compact だから
$⋃m Uλi ⊃ Ai=1⋃n Uμj ⊃ Bj=1$
となる
$λ1,⋅⋅⋅ ,λm,μ1,⋅⋅⋅ ,μn ∈ Λ$
が取れる。このとき
$m⋃ n⋃ U λi ∪ U μj ⊃ A ∪Bi=1 j=1$
だから、元の開被覆から $A ∪ B$ の有限開被覆が選べた。よって $A∪ B$ は compact である。
問題 3.
$A$ と $B$ が距離空間 $X$ の部分集合で共に compact のとき $A ∩ B$ も compact になることを示せ。

解答:
$A$ も $B$ が compact だから閉集合になる。閉集合の共通部分は閉集合だから $A ∩ B$ も閉集合である。
ここで、 $A$ が compact で $A ∩B$ がその閉部分集合だから、 $A ∩ B$ も compact である。
問題 4.
距離空間 $X$ の部分集合の列 $A1,A2,⋅⋅⋅$ で各 $An$ が compact であるが
$∞⋃A = An n=1$
が compact でない例を挙げよ。

解答:
$X = ℝ$ とし、通常の距離で距離空間と考える。各 $n ∈ ℕ$ に対し
$An = {n}$
とする。このとき $An$ は有限集合だから compact である。しかし
$n⋃A = An = ℕ n=1$
は有界ではないので Heine-Borel の定理より compact ではない。
問題 5.
${x }∞ n n=1$ を距離空間 $X$ の収束する点列とし、その極限を $x 0$ とする。このとき
$K = {x1,x2,⋅⋅⋅} ∪ {x0}$
は compact になることを示せ。

解答:
開被覆
$⋃ Uλ ⊃ Kλ∈Λ$
をとる。各 $n = 0,1,2,⋅⋅⋅$ に対し
$xn ∈ Uλ n$
となる $λn$ が存在する。特に $U λ0$ は
$x0 ∈ Uλ0$
となる $X$ の開集合である。 $x0$ が内点であることから
$U (x0;ε) ⊂ U λ0$
となる $ε > 0$ が存在するが
$lim x = xn→∞ n 0$
より、この $ε$ に対し、
$n > N =⇒ xn ∈ U(x0;ε)$
となる $N$ が存在する。つまり
${xN+1, xN+2,⋅⋅⋅} ⊂ U(x0;ε) ⊂ Uλ0$
である。よって
$K = {x1} ∪{x2} ∪⋅⋅⋅∪ {xN} ∪{xN+1, xN+2,⋅⋅⋅} ⊂ Uλ1 ∪ Uλ2 ∪⋅⋅⋅∪ UλN ∪U λ0$
となり、元の開被覆から有限個を選んで $K$ を覆うことができた。よって $K$ は compact である。
問題 6.
離散距離空間 $(X,dδ)$ の部分集合 $A$ が compact ならば $A$ は有限集合であることを示せ。

解答:
$A$ が compact であると仮定する。離散距離空間では任意の部分集合が開集合であることから、一点から成る集合も開集合である。よって
$⋃ {a} = Aa∈A$
は $A$ の開被覆である。 $A$ が compact ならば、この中から有限個を選んで $A$ を覆えるはずであるが、各 ${a}$ は異なる $A$ の点であるから、一つでも欠けると $A$ を覆うことはできない。つまり、もともと $A$ が有限集合でなければならない。

距離空間論 演習問題 第11回

問題 1.

解説:

解答:

問題 2.

解答:

問題 3.

解答:

問題 4.

解答:

問題 5.

解答:

問題 6.

解答:

距離空間論演習問題第11回