距離空間論演習問題第8回

問題 1.
写像 $x = (x1,⋅⋅⋅ ,xn),y = (y1,⋅⋅⋅ ,yn ) ∈ ℝn$ に対し
$nd(n)(x,y) = ∑ |xi - yi| 1 i=1$
で定義するとき、これは metric になることを示せ。
解答:
条件を順番に確かめるだけである:
1. (a) $|xi - yi| ≥ 0$ より
  $∑nd(1n)(x,y) = |xi - yi| ≥ 0 i=1$
  である。
2. (b) $|xi - yi| ≥ 0$ より
  $(n)d1 (x,y) = 0 =⇒ |xi - yi| = 0 for all i =⇒ xi = yi for all i =⇒ x = y$
3. (c) $|xi - yi| = |yi - xi|$ より
  $(n) n∑d1 (x,y ) = |xi - yi| i=1 n∑ = |yi - xi| i=1(n) = d1 (y,x)$
4. (d) 各 $i$ について絶対値の三角不等式より
  $|xi - zi| ≤ |xi - yi|+ |yi - zi|$
  よって
  $∑nd(1n)(x,z ) = |xi - zi| i ∑n ≤ (|xi - yi|+ |yi - zi|) i ∑n ∑n = |xi - yi|+ |yi - zi| i(n) (n)i = d1 (x,y)+ d1 (y,z)$
  となり、三角不等式が証明できた。
問題 2.
$x = (x1,⋅⋅⋅ ,xn)$ , $ny = (y1,⋅⋅⋅ ,yn) ∈ ℝ$ に対し
$d(∞n)(x,y) = max{|xi - yi| | i = 1,⋅⋅⋅ ,n}$
で定義するとき、これは metric になることを示せ。
解答: これも順番に確かめるだけ:
1. (a) $(n)d∞ (x,y) ≥ 0$ は $|xi - yi| ≥ 0$ からすぐ分かる。
2. (b) $|x - y | ≥ 0 i i$ なので $d(n)(x,y) = 0 ∞$ ならば全ての $i$ について $|xi - yi| = 0$ でなればならない。よって $x = y$ である。
3. (c) これも $|xi - yi| = |yi - xi|$ からすぐ分かる。
4. (d) 三角不等式はちょっと面倒である。まず絶対値の三角不等式より
  $|xi - zi| ≤ |xi - yi|+ |yi - zi|$
  が全ての $i$ について成り立つ。よって
  $max{|xi - zi| | i = 1,⋅⋅⋅ ,n} ≤ max{|xi - yi|+ |yi - zi| | i = 1,⋅⋅⋅ ,n}$
  である。ここで
  $max {|xi- yi|+|yi- zi| | i = 1,⋅⋅⋅ ,n} ≤ max{|xi- yi| | i = 1,⋅⋅⋅ ,n}+max {|yi- zi| | i = 1,⋅⋅⋅ ,n}$
  だから
  $d(∞n)(x, z) ≤ d(∞n)(x,y)+ d(∞n)(y,z)$
  となる。
問題 3.
$2 (2)(ℝ ,d1 )$ での原点を中心とした半径 $ε$ の open ball を図示せよ。

解答:
定義より
$2U (0;ε) = {(x1,x2) ∈ ℝ | |x1|+ |x2| < ε}$
である。ここで絶対値が場合分けで定義されていた
$({|a| = a, a ≥ 0 ( - a, a ≤ 0$
ことを思い出すと

$2U (0;ε) = {(x1,x2) ∈ ℝ | |x1|+ |x2| < ε} = {(x1,x2) ∈ ℝ2 | x1 ≥ 0,x2 ≥ 0,x1 + x2 < ε} 2 ∪{(x1,x2) ∈ ℝ | x1 ≥ 0,x2 ≤ 0,x1 - x2 < ε} ∪{(x1,x2) ∈ ℝ2 | x1 ≤ 0,x2 ≥ 0,- x1 + x2 < ε} 2 ∪{(x1,x2) ∈ ℝ | x1 ≤ 0,x2 ≤ 0,- x1 - x2 < ε}$

となる。これは直角二等辺三角形を 4 つ合わせた形であり図示すると次のようになる。

ただし境界は含まず内部のみ。
問題 4.
離散距離空間での open ball は何か?

解答: 半径の値によって二種類ある。 $(X, d) δ$ を離散距離空間とすると、 $x ∈ X$ に対し
$({U (x;ε) = {x}, ε ≤ 1 (X, ε > 1$
となる。
問題 5.
$d$ が集合 $X$ 上の metric であるとき
$′ d(x,y)d (x,y) = 1-+d(x,y)$
も $X$ 上の metric になることを示せ。
解答:
とおき、まずこの関数の性質を調べるとよい。
1. (a) $ddft(t) = (11+t)2-≥ 0$ だから $f(t)$ は単調増加である
2. (b) $t = 0$ のとき $f (0) = 0$ であり $f(t)$ は単調増加だから $t ≥ 0$ のとき $f(t) ≥ 0$ となる
3. (c) $f(t) = 0$ であるのは $t = 0$ の場合に限る
以上のこととが metric であることから次のことが分かる:
1. (a) $d′(x,y) ≥ 0$
2. (c) $d′(x,y) = 0$ $⇐⇒$ $x = y$
3. (d) $d′(x,y) = d′(y,x)$
やはり三角不等式は面倒である。しかし、それについても関数の性質を調べることによる分かる。まずがmetricであることより
$d(x,z) ≤ d(x,y) +d(y,z)$
が成り立つ。ここでは単調増加だから
$d′(x,z) = f (d(x,z)) ≤ f(d(x,y) + d(y,z))$
である。よって、とおくとき
$f(a+ b) ≤ f(a)+ f(b)$
を示せばよい。これは以下のように証明できる:
$f(a+ b) = --a-+b-- 1 + a+ b = ----a--- + ---b---- 1 + a+ b 1+ a+ b ≤ --a--+ -b--- 1 + a 1+ b = f(a)+ f(b)$
これでが metric であることが示された。
問題 6.
次は $ℝ$ 上の metric になるか?
$2 2d(x,y) = |x - y |$

解答:
ならない。例えば
$d(1,- 1) = |1- 1| = 0$
であるが $1 ⁄= - 1$ である。
問題 7.
次は $ℝ$ 上の metric になるか?
$d(x,y) = |x3 - y3|$

解答:
なる。証明は簡単なので省略。
問題 8.
次は $2ℝ$ 上の metric になるか?
$d(x,y ) = |x1 - y1|$
ただし $x = (x1,x2)$ で $y = (y1,y2)$ である。

解答:
ならない。例えば $x = (1,0)$ 、 $y = (1,1)$ とすると
$d(x, y) = |1- 1| = 0$
であるが $x ⁄= y$ である。

距離空間論 演習問題 第8回

問題 1.

解答:

問題 2.

問題 3.

解答:

問題 4.

問題 5.

解答:

問題 6.

解答:

問題 7.

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問題 8.

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