距離空間論演習問題第6回

問題 1.
次のの部分集合の集積点は何か?また孤立点は何か?(答えだけでよい)
1. (a) $A4 = {1n | n ∈ ℕ} ⊂ ℝ$
2. (b) ${ n( 1)|| }B = (- 1) 1 - n n ∈ ℕ$
3. (c) $ℚ$
解答:
集積点を求めるには、閉包を考えるか収束する点列を探すかすればよい。孤立点はその集合の元を個別に調べればよい。
1. (a)集積点は $0$ 。孤立点 $A4$ の点全て。
2. (b)集積点は $- 1$ と $1$ 。孤立点は $B$ の点全て。
3. (c)集積点は $ℝ$ の点全て。孤立点は無し。
  $∵ )$ 集積点ならば触点である。5月1 日の演習問題8より閉包は
  $-- ∘ fℚ = ℚ ∪ℚ = ∅ ∪ℝ = ℝ$
  である。この中から集積点を見付ければよい。全ての $r ∈ ℝ$ が集積点であることを示そう。教科書 p.34 定理 1.4 より、任意の自然数 $n ∈ ℕ$ に対し
  $1r < an < r +-- n$
  となる有理数 $a ∈ ℚ n$ が存在する。このとき ${a } ⊂ ℚ n n∈ℕ$ であり
  $lim a = rn→∞ n$
  だから、 $r$ は $ℚ$ の集積点である。よって $ℝ$ の元は全て $ℚ$ の集積点。以上のことから、 $ℚ$ の元は全て集積点になってしまうので孤立点はない。
問題:
$ℝ$ の部分集合として, $ℤ$ の全ての点は孤立点であることを示せ。

解答:
任意の $n ∈ ℤ$ に対し $ε = 1$ ととれば
$U(n,ε)∩ ℤ = {n}$
となる。よって全ての $ℤ$ の点は孤立点。
問題 3.
$A$ が $ℝn$ の有限個から成る部分集合なら $A$ の点は全て孤立点であることを示せ。

解答:
$A$ の濃度を $n$ として
$A = {a1,⋅⋅⋅ ,an}$
とおく。 $ai ∈ A$ に対し
$εi = min{d(ai,aj) | j ⁄= i,1 ≤ j ≤ n }$
とおくと、 $εi > 0$ であり
$U(ai,εi)∩ A = {ai}$
である。よって $a i$ は孤立点である。
問題 4.
写像
$2f : ℝ -→ ℝ$
を
$f(x,y) = x$
で定義するとき, この写像について次の問に答えよ:
1. (a) $2a = (a1,a2) ∈ ℝ$ と $δ > 0$ に対し, 集合 $f(U (a;δ))$ を求めよ。
2. (b) $f$ は連続であることを示せ。
解答:
1. (a)定義より
  $f(U(a;δ)) = {f (x ) | x ∈ U(a;δ)} = {f (x ) | ∥x - a ∥ < δ} = {f (x ,x ) | (x - a )2 + (x - a )2 < δ2} 1 2 1 1 2 2 = {x1 | (x1 - a1)2 + (x2 - a2)2 < δ2}$
  である。ここで $(x2 - a2)2 ≥ 0$ より
  $(x1 - a1)2 < δ2$
  であり
  $- δ < x1 - a1 < δ$
  よって
  $f(U(a;δ)) = (a1 - δ,a1 + δ) = U (a1;δ) = U (f (a);δ)$
  である。
2. (b) $2a ∈ ℝ$ をとる。任意の $ε > 0$ に対し
  $δ = ε$
  とおく。すると(a)より
  $f (U (a;δ)) = f(U (a;ε)) = U(f(a);ε)$
  より
  $f(U(a;δ)) ⊂ U (f(a);ε)$
  となり $f$ は点 $a$ で連続である。 $a$ は任意だったから $f$ は連続である。
問題 5.
写像
$g : ℝ -→ ℝ$
を
$2g(x) = x$
で定義するとき, この写像について次の問に答えよ:
1. (a) $a ∈ ℝ$ と $δ > 0$ に対し, 集合 $g(U(a;δ))$ を求めよ。
  (ヒント: 場合分けが必要)
2. (b) $g$ は連続であることを示せ。
解答:
が連続であることを示すだけならを求める必要はない。練習のために (a) を設けた。
1. (a)定義より
  $g(U (a;δ)) = {g(x) | x ∈ U(a;δ)} 2 = {x | |x - a| < δ} = {x2 | a- δ < x < a+ δ} (| 2 2 ||{ {y | (a- δ) < y < (a+ δ) }, a - δ > 0 = {y | (a+ δ)2 < y < (a- δ)2}, a +δ < 0 |||( 2 2 {y | 0 ≤ y < max {(a+ δ),(a- δ) }}, その他$
  である。
2. (b) $a ∈ ℝ$ をとる。 $a > 0$ と $a = 0$ と $a < 0$ の三つの場合があるが、 $a > 0$ と $a < 0$ の場合は同様なので、まず、 $a > 0$ の場合について考える。任意の $ε > 0$ に対し
  $δ = min{∘a2-+ε-- a,a- ∘a2---ε}$
  とおく。ここで $ε$ は十分小さいと仮定してよいので、 $a2 - ε > 0$ と仮定する。このとき
  
  $2 2 a - ε ≤ (a - δ)(a + δ)2 ≤ a2 + ε$
  
  であるから、(a) の結果より
  $g(U (a;δ)) ⊂ U (a2;ε) = U(f(a);ε)$
  となる。
  $a = 0$ のときは $√ -δ = ε$ ととればよい。
問題 6.
写像
$h : ℝ2 - → ℝ$
を
$h(x,y) = x +y$
で定義するとき, この写像について次の問に答えよ:
1. (a) $a = (a1,a2) ∈ ℝ2$ と $δ > 0$ に対し, 集合 $h(U (a;δ))$ を求めよ。
2. (b) 任意の $ε > 0$ に対し $h(U(a;δ)) ⊂ U (h(a);ε)$ となる $δ$ が存在することを示せ。
解答:
1. (a)定義より
  $h(U (a;δ)) = {h(x) | x ∈ U (a;δ)} = {x1 + x2 | (x1 - a1)2 + (x2 - a2)2 < δ2}$
  ここで、条件 $2 2 2(x1 - a1) +(x2 - a2) < δ$ の元での $x1 + x2$ の最大値最小値は、それぞれ $√ -a1 + a2 + 2δ$ と $√ -a1 + a2 - 2δ$ であることが分かる。(例えば相加相乗平均の公式)よって
  $√-h(U(a;δ)) = U(h(a); 2δ)$
  であることが分かる。
2. (b)任意の $ε$ に対し $δ = √ε2-$ ととればよい。

距離空間論 演習問題 第6回

問題 1.

解答:

問題:

解答:

問題 3.

解答:

問題 4.

解答:

問題 5.

解答:

問題 6.

解答:

距離空間論演習問題第6回