距離空間論演習問題第1回

問題 1.
真理表により、集合の和と共通部分について次が成り立つことを確かめよ
1. (a) $A ∪B = B ∪ A$
2. (b) $A ∩B = B ∩ A$
3. (c) $(A∪ B )∪C = A ∪ (B ∪C )$
4. (d) $(A∩ B )∩C = A ∩ (B ∩C )$
5. (e) $A ∩(B ∪ C) = (A ∩ B)∪ (A ∩C )$
6. (f) $A ∪(B ∩ C) = (A ∪ B)∩ (A ∪C )$
解答:
真理表の書き方はほとんどの人が分かっているようなので、省略。
問題 2.
集合の差について次が成り立つことを確かめよ
1. (a) $A - (B ∪ C) = (A - B )∩ (A - C )$
2. (b) $A - (B ∩ C) = (A - B )∪ (A - C )$
3. (c) $(A- B )- C = A - (B ∪ C )$
4. (d) $A - (B - C ) = (A - B )∪ (A∩ C )$
5. (e) $(A∪ B )- C = (A - C )∪ (B - C )$
解答:
真理表を使ってもできるが、問題 1. の結果を使うことにする。ド・モルガン (de Morgan) の法則が本質的である。
1. (a)
2. (b)
3. (c)
4. (d)
5. (e)
問題 3.
集合 $X$ の部分集合 $A$ と $B$ について次を示せ:
$A ∩B = ∅ ⇐ ⇒ A ⊂ X - B ⇐ ⇒ B ⊂ X - A$

解答:
$A ∩ B = B ∩A$ より
$A ∩B = ∅ ⇐ ⇒ A ⊂ X - B$
を示せばよい。
$A ∩ B = ∅ ⇐⇒ X - (A ∩ B) = X - ∅ = X ⇐⇒ (X - A )∪(X - B ) = X ⇐⇒ ∀x ∈ X,x ∈ X - A or x ∈ X - B ⇐⇒ ∀x ∈ A,x ∈ X - B ⇐⇒ A ⊂ X - B$
ここで下から二番目の $⇐⇒$ では次のことを用いた: $X = A ∪ (X - A)$ だから $x ∈ X$ について $x ∈ A$ かまたは $x ∈ X - A$ であり、 $x ∈ X - A$ ならば $x ∈ X - A$ である。 $x ∈ A$ の場合は $x ⁄∈ X - A$ だから $x ∈ X - B$ となる。

距離空間論演習問題 第1回

問題 1.

解答:

問題 2.

解答:

問題 3.

解答:

距離空間論演習問題第1回