環論演習15

理学部　数理・自然情報科学科　西田憲司

演習問題

問 1.

整数を成分に持つ 2 次の正方行列の全体 $M (ℤ ) 2$ は行列の和と積に関して環である。 $M2 (ℤ )$ の部分集合

(){a 2b}R =|(|) : a, b ∈ ℤ0 a

は $M2 (ℤ)$ の部分環であることを示せ。また， $R$ は整域かどうか調べよ。

問 2.

$ℤ$ のイデアル (2),(6) および $ℚ [x]$ のイデアル $(x),(x2),(x2 + 1)$ について答えよ。

(1)極大イデアルはどれか。
(2) $6x2$ を含むイデアルはどれか。
(3) 剰余環 $ℤ∕ (6 )$ と $2ℚ[x]∕(x )$ は整域でないことを示せ。

問3.

整数環 $ℤ$ の積閉集合 $S = {1,3,32,⋅⋅⋅}$ とする。 $ℤ$ の素イデアル $𝔭 = (2 )$ とする。このとき， $-1S ℤ ⊂ ℤ𝔭$ を示せ。

問 4.

$ℤ [x]$ の元 $3x2 - 18x + 24$ と $5x2 - 20$ の最大公約数，最小公倍数を求めよ。

問 5.

素数 $p$ に対し， $ℤ$ のイデアル $3(p )$ の根基 $∘ ---- (p3)$ を求めよ。

解答

問1.

(証明)

$()() a 2b a′ 2b′|( |) , |( |) ∈ R 0 a 0 a′$ ならば，

( ) ( ) ( ) ′ ′ ′ ′| a 2b | | a 2b | | a - a 2(b - b)|( ) - ( ′) = ( ′) ∈ R 0 a 0 a 0 a - a

( ) ( ) ( ) ′ ′ ′ ′ ′| a 2b| | a 2b| = | aa 2(ab + ab)| ∈ R( ) ( ′) ( ′ ) 0 a 0 a 0 aa

また，

()| 1 0|( ) ∈ R 0 1

以上から， $R$ は $M2 (ℤ )$ の部分環である。

$□$

また， $( )| 0 2| ∈ R( ) 0 0$ であるが，

( ) ( )| 0 2 | | 0 2|( ) ( ) = O 0 0 0 0

であるから， $R$ は整域ではない。

問 2.

(1) $ℤ$ に対しては素数を， $ℚ [x]$ に対しては既約な多項式を見つければよいのだから，極大イデアルは $(2), (x), (x2 + 1)$ である。
(2) $6x2 = 6x ⋅ x = 6 ⋅ x2$ であるから， $6x2 ∈ (x ), 6x2 ∈ (x2)$ である。 $22x + 1 ∤ 6x$ であるから， $2 26x ⁄∈ (x + 1)$ である。
(3)(証明)
$3 + (6), 2 + (6) ∈ ℤ∕ (6)$ であり， $3 + (6),2 + (6) ⁄= (6)$ であるが， $(3 + (6 ))(2 + (6)) = 6 + (6) = (6 )$ より， $ℤ∕(6)$ は整域ではない。また， $x + (x2) ∈ ℚ [x]∕ (x2 )$ で， $x + (x2) ⁄= (x2)$ であるが， $2 2 2 2 2(x + (x ))(x + (x )) = x + (x ) = (x )$ より， $2ℚ [x]∕(x )$ は整域ではない。

$□$
(別証)
$R$ を環 $I$ を $R$ のイデアルとすると， $R ∕I$ が整域 $⇔ I$ は素イデアル $ℤ, ℚ [x]$ は単項イデアル整域であるから，素イデアル $⇔$ 極大イデアルなので(1) の結果から， $ℤ ∕(6), ℚ[x]∕(x2)$ はいずれも整域ではない。

問3.

$ℤ - 𝔭$ は奇数全体の集合，すなわち $1 + 2Z$ であるから， $S ⊂ ℤ - 𝔭$ である。よって $-1 a- a-S ℤ = {s | a ∈ ℤ, s ∈ S }, ℤ𝔭 = { s | a ∈ ℤ, s ∈ 1 + 2 ℤ}$ であるから， $-1S ℤ ⊂ ℤ 𝔭$ である。

$□$

問4.

それぞれを素元分解すると， $3(x - 2 )(x - 4), 5(x + 2)(x - 2)$ であるから，最大公約数は $x - 2$ ，最小公倍数は $3 ⋅ 5(x - 2)(x - 4)(x + 2)$ である。

問5.

任意の $pm ∈ (p) (m ∈ ℤ )$ に対し， $(pm )3 ∈ (p3)$ であるから， $∘ ---- (p3) ⊃ (p)$ である。また，任意の $∘ ----x ∈ (p3)$ に対し，ある $k ∈ ℤ$ が存在して， $xk ∈ (p3)$ となるが，このとき $p3 | xk$ であり $p$ が素数であることから， $p | x$ である。したがって， $x ∈ (p)$ であり， $∘ ---- (p3 ) ⊂ (p)$ である。以上から， $∘ ---- (p3) = (p)$