環論演習14

理学部　数理・自然情報科学科　西田憲司

演習問題

問1.

環準同型 $φ : R [x] -→ C$ を $φ(f(x)) = f (i) (i = √ --1)$ によって定める。次の問に答えよ。

(1) $φ$ は全射であることを示せ。
(2) $ker φ$ を求めよ。
(3) $C$ はある $R [x]$ の剰余環と同型であることを示せ。

問 2. $R$ を可換環とし， $a1,⋅⋅⋅ ,an ∈ R$ とする。このとき，

(a1,⋅⋅⋅ ,an ) = {a1r1 + ⋅⋅⋅ + anrn | r1,⋅⋅⋅ ,rn ∈ R }

であることを示せ。

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解答

問1.

(1)(証明)
任意の $a + bi ∈ C (a,b ∈ R )$ に対し， $f(x) = a + bx$ とおけば， $φ(f (x )) = a + bi$ であるから $φ$ は全射である。

$□$
(2) $2 φ(x + 1) = 0$ であるから， $2ker φ ⊃ (x + 1)$ である。なぜなら，任意の $(x2 + 1 )f (x) ∈ (x2 + 1)$ に対して， $φ$ は環準同型であるから， $φ((x2 + 1)f(x)) = φ (x2 + 1 )φ (f(x)) = 0$ 逆に， $f(x) ∈ kerφ$ ならば， $f(i) = 0$ であるから，因数定理により $f(x)$ は $x2 + 1$ で割り切れる。したがって， $kerφ ⊂ (x2 + 1)$ である。よって， $kerφ = (x2 + 1)$
(3)(証明)
準同型定理より， $R [x]∕ker φ ~= Im φ$ であるが， $(1),(2)$ より， $2Im φ = C, kerφ = (x + 1)$ であるから，
$R [x]∕(x2 + 1) ~ C =$

$□$

問2.

$I = {a1r1 + ⋅⋅⋅ + anrn | r1,⋅⋅⋅ ,rn ∈ R }$ とおく。このとき任意の $a1r1 + ⋅⋅⋅ + anrn,$ $a1s1 + ⋅⋅⋅ + ansn ∈ I (ri,si ∈ R )$ に対し，

(a r + ⋅⋅⋅ + a r ) - (a s + ⋅⋅⋅ + a s ) = a (r - s ) + ⋅⋅⋅ + a (r - s ) ∈ I 1 1n n 1 1 n n 1 1 1 n n n

$r ∈ R$

$r(a1r1 + ⋅⋅⋅ + anrn) = a1r1r + ⋅⋅⋅ + anrnr ∈ I$

$I$

$R$

$i = 0,1,⋅⋅⋅ ,n$

$ai = ai ⋅ 1 ∈ I$

$I$

$a1,⋅⋅⋅ ,an$

$R$

$(a1,⋅⋅⋅ ,an)$

$a1,⋅⋅⋅ ,an$

$R$

$(a ,⋅⋅⋅ ,a ) ⊂ I 1 n$

$a1r1 + ⋅⋅⋅ + anrn ∈ I (r1,⋅⋅⋅ ,rn ∈ R )$

$ai ∈ (a1,⋅⋅ ⋅ ,an)$

$airi ∈ (a1,⋅⋅⋅ ,an)$

$a1r1 + ⋅⋅⋅ + anrn ∈ (a1,⋅⋅⋅ ,an)$

$(a1, ⋅⋅⋅ ,an) ⊃ I$

$(a1,⋅⋅⋅ ,an) = I$

$□$

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