環論演習13

理学部　数理・自然情報科学科　西田憲司

演習問題

問1.

$R$ を環とし， $e ∈ R$ は $e2 = e$ をみたすとする。 $e ⁄= 0, 1$ ならば， $e$ は零因子であることを示せ。

問 2.

$R$ を可換環とし， $x ∈ R$ とする。このとき，

ℓ(x ) := { r ∈ R | rx = {0}}

は $R$ のイデアルであることを示せ。

問 3.

(1) $Z ∕45Z$ のイデアルをすべて求めよ。
(2) $Z ∕45Z$ の素イデアルはどれか。

解答

問 1.

(証明)

$e ⁄= 0, 1$ であるから， $1 - e ⁄= 0,1$ である。ところが， $20 = e - e = e (1 - e) = (1 - e)e$ であるから， $e$ は零因子である。

$□$

問2.

(証明)

$a, b ∈ ℓ(x)$ とする。このとき， $(a - b)x = ax - bx = 0 - 0 = 0$ であるから， $a - b ∈ ℓ(x)$ また，任意の $r ∈ R$ に対し， $(ra )x = r(ax) = r0 = 0$ であるから， $ra ∈ ℓ(x)$ 以上から， $ℓ(x )$ は $R$ のイデアルである。

$□$

問3.

(1) $Z ∕45Z$ のイデアルは $45Z$ を含む $Z$ のイデアル $𝔞 = mZ (m ∈ Z )$ によって， $mZ ∕45Z$ の形をしている (環論演習 5 の (2) 参照)。したがって， $45Z$ を含む $Z$ のイデアルをすべて求めれば良いが， p.92 の補題 2.4.1 より， $(m ) ⊃ (45 ) ⇔ m | 45$ であるから， 45 の約数を調べればよい。したがって， $45$ の約数は $1,3, 5,9,15,45$ であるから， $Z ∕45Z$ のすべてのイデアルは， $Z ∕45Z, 3Z ∕45Z, 5Z ∕45Z, 9Z ∕45Z, 15Z ∕45Z, {0}$ である。
(2) 極大イデアルは素イデアルであるから， $3Z ∕45Z, 5Z ∕45Z$ は素イデアルである。また， $a-= a + 45Z (a ∈ Z )$ と表すことにすると， $--3 ⁄∈ 9Z ∕45Z$ であるが， $3 ⋅ 3 = 9 ∈ 9Z ∕45Z$ であるから， $9Z ∕45Z$ は素イデアルではない。さらに， $----5,3 ⁄∈ 15Z ∕45Z$ であるが， $---- ---3 ⋅5 = 15 ∈ 15Z ∕45Z$ であるから， $15Z ∕45Z$ も素イデアルではない。同様に， $---- --5,9 ⁄= 0$ であるが， $-- -- --9 ⋅5 = 0$ であるから， $45Z ∕45Z = {0}$ も素イデアルではない。以上から，素イデアルは $3Z ∕45Z, 5Z ∕45Z$ である。
(別解)
$(Z ∕45Z )∕(mZ ∕45Z ) ~= Z ∕mZ (m = 1,3,5,9, 15,45)$ であるから， $mZ ∕45Z$ が素イデアルであることと $Z ∕mZ$ が整域であることと同値である。それはさらに， $mZ$ が素イデアルであることと同値なのだから， $Z ∕45Z$ の素イデアルは $3Z ∕45Z, 5Z ∕45Z$ である。