環論演習12

理学部　数理・自然情報科学科　西田憲司

演習問題

問1.

$p,q$ が相異なる素数のとき， $Z$ のイデアル $(p2), (pq)$ に対して

∘ ----∘ ---- (p2) = (p), (pq = (pq )

を示せ。

問2.

$p$ が素数のとき， $Z$ のイデアル $(p2)$ について次の問に答えよ。

(1) $Z$ のイデアル $𝔞$ が $𝔞 ⊃ (p2)$ ならば $𝔞 = Z$ または $𝔞 = (p2)$ または $𝔞 = (p)$ を示せ。
(2) $(p2)$ は既約なイデアル，を示せ。

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解答

問1.

(証明)

$∘ ---- (p2) = (p$ であること：
任意の $pm ∈ (p) (m ∈ Z )$ に対して， $(pm )2 = p2m2 ∈ (p2)$ であるから， $∘ ----pm ∈ (p2)$ である。よって， $∘ --2- (p ) ⊃ (p)$ また， $∘ ----x ∈ (p2)$ ならば，ある $k ∈ Z$ が存在し， $xk ∈ (p2 )$ となるから， $p2 | xk$ であり， $p$ は素数であるから， $p | x$ でなければならない。したがって， $x ∈ (p)$ であるから， $∘ --2- (p ) ⊂ (p)$ 以上から， $∘ ---- (p2) = (p )$ である。

$∘ ---- (pq) = (pq )$ であること：
$∘ ---- (pq) ⊃ (pq)$ であることは明らかなので， $∘ ---- (pq) ⊂ (pq)$ であることを示せばよい。 $∘ ----x ∈ (pq)$ ならば，ある $m ∈ Z$ が存在し， $mx ∈ (pq)$ となるから，このとき $pq | xm$ である。今， $p,q$ は相異なる素数であるから， $pq | x$ でなければならない。したがって， $x ∈ (pq)$ であり， $∘ ---- (pq) ⊂ (pq)$

$□$

問2.

(1)(証明)
$Z$ は単項イデアル整域であるから， $𝔞 = (m ) (m ∈ Z )$ と表しておく。 p.92 の補題 2.4.1 より， $(m ) ⊃ (p2) ⇔ m | p2$ であるから， $m$ は $1,p,p2$ のいずれかである。したがって， $m = 1$ のとき， $𝔞 = (m ) = Z$ ， $m = p$ のとき， $𝔞 = (p)$ ， $m = p2$ のとき， $𝔞 = (p2 )$ である。

$□$
(2)(証明)
$1 ⁄∈ (p2)$ であるから， $(p2) ⊊ Z$ であることはよい。また， $(1)$ の結果から $(p2)$ を真に含む $Z$ のイデアルは $Z$ と $(p)$ しかなく， $(p) ∩ (p) = (p), (p) ∩ Z = (p), Z ∩ Z = Z$ であるから， $2(p )$ は既約なイデアルである。

$□$

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