環論演習11

理学部　数理・自然情報科学科　西田憲司

演習問題

問1.

R は可換環， S を R の積閉集合とする。 R の S による商環 S- 1R のイデアルは全て次の (*) の様に表されることは証明されている：
{}(*) S -1𝔞 = a- : a ∈ 𝔞, s ∈ S (𝔞は R の イfア 茀 ル )s
この 事実を用いて (** )を示せ。
(* *) R が ネ[／ 茀 環 な ら ば S-1R も ネ[／ 茀 環 で あ る .

問2.

Z [x] の部分環 R を
R = Z [2x,2x2, 2x3,⋅⋅⋅]
とする。即ち，多項式 n f(x) = anx + ⋅⋅⋅ + a1x + a0 ∈ Z [x]について，
f(x) ∈ R ⇐ ⇒ a1,⋅⋅⋅ ,anは2の倍数(a0はどの整数でもよい)
R の部分集合 𝔞 を
𝔞 = {anxn + ⋅⋅⋅ + a1x : n ≥ 1, a1,⋅⋅⋅ ,anは 2 の 倍 数 }
とおく。このとき
-

解答

問 1.

(証明)

S -1R の任意のイデアルの無限上昇列を

-1 -1 -1 S 𝔞0 ⊂ S 𝔞1 ⊂ ⋅⋅⋅ ⊂ S 𝔞n ⊂ ⋅⋅⋅
を考える。（上の (* ) からこのような形をしている）このとき，各 i ≤ 0 に対し， 𝔞i ⊂ 𝔞i+1である。なぜなら， 𝔞i の任意の元 a に対し， -a -1 1 ∈ S𝔞iであるから， -a -1 1 ∈ S𝔞i+1でもあり， a ∈ 𝔞i+1 である。したがって， R のイデアルの無限上昇列
𝔞0 ⊂ 𝔞1 ⊂ ⋅⋅⋅ ⊂ 𝔞n ⊂ ⋅⋅⋅
が得られるが， R がネータ環であることから，ある n ∈ Z が存在して， 𝔞n = 𝔞n+1 = ⋅⋅⋅ となる。したがって，このとき S -1𝔞n = S -1𝔞n+1 = ⋅⋅⋅ であるから， S-1R はネータ環である。

□

問2.

-