環論演習10

理学部　数理・自然情報科学科　西田憲司

演習問題

(1) $Z [x]$ の多項式
$8 7 6 5 2f (x) = 102x + 78x + 84x + 48x + 66x + 72x + 54$
を $f(x) = ag(x), a ∈ Z, g(x)$ は原始的，と表せ。ただし， $a$ は素因数分解せよ。
(2) $R = Q [x]$ とする。 $R[y]$ の多項式
$f(y) = x3y4- 5-x2y4+xy4+x2y3+x3y2 - -5 xy3- 7-x2y2+x3+y3+ 7-xy2- -3 x2- y- 2 - 3-x+1 2 2 2 2 2 2$
を $f(y) = ag(y), a ∈ Q [x ], g(y)$ は原始的，と表せ。ただし， $a$ は因数分解せよ。

$Z [x ]$ の多項式
$f(x) = 144x3 + 432x2 + 72x + 216$
を素元分解せよ。
$R = Q [x]$ とする。 $R[y]$ の多項式 $6 3 2 5 4 2 2 3f(y) = x y + x y - x - x y - x y - xy + x + y$ を $f (y) = ag(y), a ∈ Q [x ], g(y)$ は原始的，と表し， $f(y)$ を素元分解（因数分解）せよ。

(1) 各係数の最大公約数は $6$ である。したがって，
$f (x) = 2 ⋅ 3 ⋅ (17x8 + 13x7 + 14x6 + 8x5 + 11x2 + 12x + 9)$
(2)
$f (y) = 1-{(2x3- 5x2+2x )y4+(2x2 - 5x+2 )y3+(2x3 - 7x2+7x - 2)y2+ (2x3 - 3x2 - 3x+2 )} 2$
である。各係数について
$2x3 - 5x2 + 2x = x(2x - 1)(x - 2)$
$2x2 - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2)$
$2x3 - 7x2 + 7x - 2 = (x - 2)(2x2 - 3x + 1) = (x - 2)(2x - 1)(x - 1)$
$3 2 22x - 3x - 3x + 2 = (x + 1)(2x - 5x + 2) = (x + 1)(2x - 1)(x - 2)$

であるから， $f(x ) = 1-(2x - 1)(x - 2){xy4 + y3 + (x - 1)y2 + (x + 1 )} 2$

(1) $3 2 3 2 2f(x) = 72(2x + 6x + x + 3 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ (x + 3)(2x + 1)$
であり， $22x + 1$ は既約な原始多項式であるから，これでよい。
(2) $f(y) = (x3 - x)y2 + (x6 - x4 - x2 + 1)y - (x5 - x3 )$ であり，各係数は
$3x - x = x(x + 1)(x - 1)$
$6 4 2 4 2 2 2 4 2 2 2x - x - x + 1 = x (x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(x - 1) = (x + 1)(x - 1) (x + 1)$
$x5 - x3 = x3 (x2 - 1 ) = x3 (x + 1)(x - 1 )$

であるから， $f(y) = (x + 1)(x - 1){xy2 + (x + 1)(x - 1)(x2 + 1)y - x3} = (x + 1)(x - 1)(y + x3)(xy - 1)$