環論演習9

理学部　数理・自然情報科学科　西田憲司

演習問題

問1.

$R$ は domain （整域）とする。 $a, b ∈ R$ に対し，

「 $c ∈ R$ が $a$ と $b$ の最小公倍数となる必要十分条件は $(c) = (a) ∩ (b)$ 」

を示せ。

問2.

$R$ は問 1. と同じとする。 $R$ の元 $a$ と $b$ の最小公倍数を $c$ とする。問 1. より $(c) = (a) ∩ (b)$ であるから， $(ab ) ⊂ (a ) ∩ (b) = (c)$ である。従って， $ab = cd$ となる $d ∈ R$ がある。このとき， $d$ は $a$ と $b$ の最大公約数であることを示せ。

解答

問1.

(証明)

$c$ が $a$ と $b$ の最小公倍数であるとする。このとき， $c = xa, c = yb$ となるような $x, y ∈ R$ が存在する。したがって，任意の $(c)$ の元 $rc (r ∈ R )$ に対して $rc = rxa ∈ (a)$ かつ $rc = ryb ∈ (b)$ であるから， $rc ∈ (a ) ∩ (b)$ 。よって， $(c) ⊂ (a) ∩ (b)$ である。また，任意に $s ∈ (a) ∩ (b)$ をとれば， $s = r1a = r2b$ となるような， $r1,r2 ∈ R$ が存在するから， $s$ は $a,b$ の公倍数である。よって， $s$ は $c$ で割り切れるので， $s = r3c$ となる $r3 ∈ R$ が存在するから， $s ∈ (c)$ である。よって $(c) ⊃ (a) ∩ (b)$ であり， $(c) = (a) ∩ (b)$ である。逆に， $(c) = (a) ∩ (b)$ であるとする。このとき， $c ∈ (a) ∩ (b)$ であるから， $c$ は $a,b$ の公倍数である。したがって， $a, b$ の公倍数が $′c$ がすべて $c$ で割り切れることを示せばよい。 $c′$ は $a,b$ の公倍数であるから， $c′ = r1a = r2b$ となるような， $r1,r2 ∈ R$ が存在するので， $c′ ∈ (a) ∩ (b)$ である。今， $(a ) ∩ (b) = (c)$ であるから， $c′ ∈ (c)$ なので， $c′ = r c 3$ となるような $r3 ∈ R$ が存在するから， $′c$ は $c$ で割り切れる。したがって， $c$ は $a,b$ の最小公倍数である。

$□$

問 2.

(証明)

$d ′$ が $a$ と $b$ の公約数ならば， $d ′|d$ であることを示せばよい。 $a = r1d′, b = r2d′ (r1,r2 ∈ R )$ とおく。このとき， $′r1r2d$ は $a,b$ の公倍数であるから， $′r1r2d$ は最小公倍数 $c$ で割り切れる。そこで， $r1r2d′ = sc$ とおけば， $cd = ab = d′ ⋅ r1r2d ′ = d′sc$ となる。 $R$ は整域であるから， $d = d′s$ となり， $d′|d$ である。

$□$