環論演習8

理学部　数理・自然情報科学科　西田憲司

演習問題

問1.

(1) $v$ は体 $K$ の付値とするとき， $-nv(a ) = - nv(a)$ を示せ。ただし， $n ≥ 0, a ∈ K$ 。
(2) 有理数体 $Q$ の $p$ 進付値 $v$ は付値の条件 (2)， (3) を充たすことを示せ。
付値の条件 (2) $v(αβ ) = v (α ) + v(β)$
付値の条件 (3) $v(α + β) ≥ min {v(α ),v (β )}$

問2.

$p = 5$ のとき，即ち 5 進付値を考える。このとき付値環は

{}Z -a : 5は bを割らない,a,b ∈ Z,(5)b

付値イデアルは

{}Zでの5の倍数全体 5Z=5 ⋅-a : a-∈ Z (5)(5)b b(5)

である。定理 2.3.5(3) を用いてイデアル $𝔞 = 200Z (5)$ を含む $Z (5)$ のイデアルをすべて求めよ。

解答

問1.

(1)(証明)
$v(1) = v(1 ⋅ 1) = v(1) + v (1 ) = 2v (1)$ であるから， $v(1) = 0$ である。したがって， $n = 0$ のときは正しい。 $-1-10 = v(1) = v(a ⋅ a ) = v(a) + v(a )$ であるから， $-1v(a ) = - v(a)$ である。したがって， $◜--------n◞個◟--------◝v(a- n) = v(a-1) + ⋅⋅⋅ + v(a- 1) = - nv (a)$ である。

$□$
(2)(証明)
$α,β$ のどちらかが $0$ ならば，主張は明らかであるから， $α ⁄= 0, β ⁄= 0$ とする。 $α,β ∈ Q$ とし， $m nα = ap , β = bp (a,b$ は分母，分子がいずれも $p$ で割り切れないような分数， $m, n ∈ Z$ ) と表しておくと， $v(α ) = m, v(β ) = n$ である。このとき， $αβ = abpm+n$ であり， $a,b$ のとり方から， $ab$ は分母，分子がいずれも $p$ で割り切れないような分数である。したがって， $v(α β) = m + n = v(α) + v(β)$ である。次に (3) についてだが， $m ≤ n$ としてかまわない。このとき， $yya = --1, b = --2 x1 x2$ と表せば，
$()()n- mmy1-y2- n-m mx2y1 +-x1y2pm--nmα + β =(a + bp )p =x+xpp=x xp121 2$
であるが， $a,b$ のとり方から， $x1,x2$ はいずれも $p$ で割り切れない。よって， $x1x2$ は $p$ で割り切れず，さらに $m - n ≥ 0$ であることから， $v(α + β ) ≥ m = min{v (α),v(β)}$

$□$

問2.

$𝔞$ の任意の元 $()aa200 ⋅ -- -- ∈ Z (5)b b$ に対して， $a8a200 ⋅ --= 25 ⋅----∈ 25Z (5)bb$ であり， $25Z (5)$ の任意の元 $()25 ⋅ c- c- ∈ Z (5)dd$ に対し， $25 ⋅ c = 200 ⋅-c--∈ 𝔞d8d$ であるから， $𝔞 ⊂ 25Z(5)$ かつ $𝔞 ⊃ 25Z(5)$ 。よって， $𝔞 = 25Z (5)$ である。定理 2.3.5(3) から， $Z (5)$ の真のイデアルはすべて付値イデアルのベキであり， $(5Z (5))2 = 25Z (5) = 𝔞$ である。よって， $𝔞$ を含むような $Z (5)$ のイデアルは， $Z (5)$ 自身， $5Z (5), 𝔞$ の 3 つである。