環論演習7

理学部　数理・自然情報科学科　西田憲司

演習問題

$Z$ のイデアル $𝔞 = (6) = 6Z = {6z : z ∈ Z }$ とする。 $S = 1 + 𝔞 = {1 + 6z : z ∈ Z }$ とおく。

(1) $S$ は積閉集合を示せ。
(2) $Z$ の $S$ による商環 $S-1Z$ の中に， $1 1-, --2 3$ はあるか（即ち， $2,3$ の逆元はあるか）？また， $-1-35$ はあるか？

$Z$ の積閉集合 $nS = {6 : n = 0,1,2, 3,⋅⋅⋅}$ による商環 $ZS$ を考える。

(1) $ZS$ に $1- 1-2 ,3$ はあるか？また， $1-5$ はあるか？
(2) $a ∈ Z$ に対し， $ZS$ のイデアル
$aZ := {a ⋅ z--: z ∈ Z, n = 0,1,2, 3,⋅⋅⋅} S6n$
とする。このとき， $28Z = 7ZSS$ を示せ。また， $7Z S$ は $Z S$ の素イデアルを示せ。

(1)(証明)
$′1 + 6z,1 + 6z ∈ S$ とすると， $′′′(1 + 6z)(1 + 6z ) = 1 + 6(z + z + 6zz ) ∈ S$ であり， $1 ∈ S$ である。

$□$
(2)
$a- 1-2 ⋅ s = 1$ をみたすような $a- -1s ∈ S Z$ が存在したとすれば，ある $′s ∈ S$ があって， $′ ′2as = ss$ となってなくてはいけないが，左辺は偶数，右辺は $S$ の元で奇数であるから矛盾する。したがって， $2$ は単数ではない。同様に $3$ についても単数でないことがわかる。また， $- 35 = - 36 + 1 ∈ S$ であるから， $-1---∈ S-1Z- 35$ である。したがって， $- 1-----∈ S -1Z- 35$ であり， $- 135 ⋅-----= 1- 35$ であるから， $35$ は単数である。

(1)
$3- -26 , 6 ∈ ZS$ であり， $3- 2-2 ⋅ 6 = 1, 3 ⋅ 6 = 1$ であるから， $2$ も $3$ も単数である。また， $5 ⋅ a = 1- s 1$ となるような $-a ∈ Z s$ が存在したとすると， $s ′ ∈ S$ があって $′ ′5as = ss$ となっていなくてはいけない。ところが，右辺は $6$ のベキであるから， $5$ を素因数として含まないので矛盾する。したがって， $5$ に逆元はない。
(2)(証明)
任意の $z28 ⋅-n-∈ 28ZS6$ に対して， $28z4z--n--= 7 ⋅--n ∈ 7ZS 66$ であるから， $28ZS ⊂ 7ZS$ である。また，任意の $7 ⋅ z-∈ 7ZS 6n$ に対して， $27z--= 7z-⋅ 6-= 28 ⋅-9z--∈ 28ZS6n 6n+2 6n+2$ であるから， $7ZS ⊂ 28ZS$ である。以上から， $28ZS = 7ZS$ また， $a--, b-∈ ZS (a,b ∈ Z, m, n = 0, 1,⋅⋅⋅)6m 6n$ とし， $-ab-- ∈ 7ZS6m+n$ とする。このとき， $6ℓab ∈ 7Z (ℓ = 0,1,⋅⋅⋅)$ であるから， 7 は素数より $a ∈ 7Z$ または $b ∈ 7Z$ である。したがって， $-a-6m ∈ 7ZS$ または， $b--6n ∈ 7ZS$ である。また， $1-6 ⁄∈ 7ZS$ であることは容易にわかるから， $7ZS$ は $ZS$ の真のイデアルである。以上から $7ZS$ は素イデアルである。

$□$