環論演習6

理学部　数理・自然情報科学科　西田憲司

演習問題

問1.

定理 2.2.7 （極大イデアルの存在）の証明を真似て次を示せ。
可換環 R の積閉集合を S とする。このとき， S ∩ 𝔭 = ∅ （空集合）となる素イデアル 𝔭 が存在する。
Hint;
  1. M の替わりに I = {I : I は R のイデアルで I ∩ S = ∅ を充たす } を考えよ。
  2. イデアル 𝔭 が素イデアル，を証明するために， a, b ∈ R, ab ∈ 𝔭 とし，更に， a ⁄∈ 𝔭, b ⁄∈ 𝔭 だったとして矛盾を出せ。

問2.

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解答

問1.

(証明)

I = {I : I は R のイデアルで I ∩ S = ∅ を充たす } とおくと，0 ⁄∈ S より， (0) ∈ I 。 したがってI ⁄= ∅ である。そこで， I の任意の全順序部分集合 J = {Jλ} λ∈Λ に対し， -- ⋃J = λ∈Λ Jλ とすると， --J は R のイデアルである。なぜなら， ⋃a,b ∈ λ∈Λ Jλ とすると， a ∈ J , b ∈ J ′λλ となるような， λ,λ′ ∈ Λ が存在するが， J が全順序集合であるか ら， max {Jλ,J λ′} を考えることができ（すなわち Jλ ⊂ J λ′ま た は Jλ ⊃ Jλ′ ），今これ を J λ としておくと， a, b ∈ J λ である。ここで， Jλ ∈ I であるから Jλ はR のイデアル なのでa - b ∈ Jλ である。よって --a - b ∈ J, 任意の r ∈ R に対して ra ∈ J λ であるから， ra ∈ J- でもあり J- は R のイデアルであることが示された。また，任意の λ ∈ Λ に対し J λ ∩ S = ∅ であるから， -- (⋃ )J ∩ S = Jλ ∩ S = ∅λ∈Λ でもあるから， --J ∈ I である。 --J が J の上界であることは明らか。以上から， I の任意の全順序部分集合が， I の 中に上界をもつことが示されたので， I は帰納的順序集合である。よって，ツォルンの補題により I には極大元 𝔭 が存在する。この 𝔭 が素イデアルであることを示すために a, b ∈ R, ab ∈ 𝔭, a ⁄∈ 𝔭, b ⁄∈ 𝔭 とする。このとき， 𝔭 ⊊ 𝔭 + (a), 𝔭 ⊊ 𝔭 + (b) であるから， 𝔭 の極大性により， (𝔭 + (a)) ∩ S, (𝔭 + (b)) ∩ S はいずれも空でない。したがって， x + ra, x ′ + r′b ∈ S となるような， x,x′ ∈ 𝔭, r,r′ ∈ R が存在し， S が積閉集合より， ′′′′′′(x + ra )(x + rb) = xx + xr b + xra + rr ab ∈ S であるが， ′x,x ,ab ∈ 𝔭 であるから， 𝔭 の元でもある。これは， 𝔭 ∩ S = ∅ であることに矛盾する。

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問2.

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