を任意に一つとって固定する。このとき, を (多項式にを代入する写像) によって定めると, は環準同型となる。また, は全射である。なぜなら任意の に対して, を定数多項式 で定めれば である。したがって,準同型定理により であるから, は体であるが, であることを示せば主張は証明される。実際,
上の事実を用いれば, のイデアルは を含む のイデアル により, の形をしている。また, は単項イデアル整域(教科書 p.81 定理 2.2.4) であるから,この はある により, の形をしている。 ま た, であるから, である。したがって, となるような が存在するから, である。