環論演習5

理学部　数理・自然情報科学科　西田憲司

演習問題

問1.

複素数体 $C$ 上の 1 変数多項式環 $R = C [x]$ を考える。任意の複素数 $λ ∈ C$ に対し $x - λ$ で生成された $R$ のイデアル

𝔞λ = (x - λ) = {(x - λ)f (x) : f(x) ∈ C [x ]}

は $R$ の極大イデアル，を示せ。

問2.

可換環 $R$ とそのイデアル $𝔞$ が与えられている。このとき剰余環 $R ∕𝔞$ のイデアルは $𝔞$ を含む $R$ のイデアル $I(⊃ 𝔞)$ により， $I∕𝔞$ の形をしている。

(ただし， $I∕𝔞 = {a : a ∈ I}$ )

$∵ ) X$ を $R ∕𝔞$ のイデアルとする。
$--I = {a ∈ R : a ∈ X }$ とおくと， $I$ はイデアルの条件を充たすことが確かめられて， $R$ のイデアルになる。そして，任意の $a ∈ 𝔞$ に対し， $R ∕𝔞$ では $-- --a = 0 ∈ X$ から $a ∈ I$ 。よって， $𝔞 ⊂ I$ である。従って，

---- --I∕𝔞 = {a : a ∈ I} = {a :a ∈ X } = X.□

(1)体 $K$ 上の多項式環 $K [x ]$ のイデアル $𝔞 = (f (x )), f (x ) ∈ K [x]$ に対し，剰余環 $K [x]∕ 𝔞$ のイデアルは $g|f$ となる多項式 $g(x) ∈ K [x]$ により， $(g (x))∕𝔞$ の形をしていることを示せ。 (上の事実を使う)
(2) $R = Q [x]∕(x2 - x - 6)$ のイデアルをすべて求めよ。

解答

問1.

(証明)

$λ ∈ C$ を任意に一つとって固定する。このとき， $Φλ : C [x] - → C$ を $Φλ(f (x)) = f(λ)$ (多項式に $λ$ を代入する写像) によって定めると， $Φλ$ は環準同型となる。また， $Φ λ$ は全射である。なぜなら任意の $c ∈ C$ に対して， $f(x) ∈ C [x]$ を定数多項式 $f (x) = c$ で定めれば $Φ (f(x )) = c λ$ である。したがって，準同型定理により $C [x]∕Ker Φ ~= Cλ$ であるから， $C [x]∕Ker Φ λ$ は体であるが， $Ker Φλ = (x - λ)$ であることを示せば主張は証明される。実際，

$f(x) ∈ Ker Φ λ ⇐ ⇒ f(λ ) = 0$
$spacer$ $⇐ ⇒ f(x) = (x - λ)g(x)$ となるような $g(x) ∈ C [x]$ が存在する。

であるから， $Ker Φλ = (x - λ)$ である。

$□$

問2.

(1)(証明)
上の事実を用いれば， $K [x ]∕𝔞$ のイデアルは $𝔞$ を含む $K [x]$ のイデアル $I(⊃ 𝔞)$ により， $I∕𝔞$ の形をしている。また， $K [x]$ は単項イデアル整域（教科書 p.81 定理 2.2.4）であるから，この $I$ はある $g(x) ∈ K [x ]$ により， $I = (g(x))$ の形をしている。また， $𝔞 ⊂ (g(x))$ であるから， $f(x) ∈ (g(x))$ である。したがって， $f(x) = g(x)q(x )$ となるような $q(x ) ∈ K [x]$ が存在するから， $g|f$ である。

$□$
(2) $2x - x - 6 = (x + 2)(x - 3)$ を割り切る多項式は， $21, x + 2, x - 3, x - x - 6$ の4つである。 (1) の結果から， $R$ のイデアルは，
$(1)∕(x2 - x - 6) = Q [x ]∕(x2 - x - 6) = R, (x + 2 )∕ (x2 - x - 6 )$ $222(x - 3)∕(x - x - 6), (x - x - 6)∕(x - x - 6) = {0}$

の4つである。