環論演習4

理学部　数理・自然情報科学科　西田憲司

演習問題

(1) $Z$ のイデアル $(3 )$ による剰余環 $-- ----Z ∕(3) = {0, 1,2}$ において次の問に答えよ。
$(1.1 ) x$ の方程式 $-- -- --2x + 1 = 0$ を解け。
$(1.2 ) x$ の方程式 $--2 -- --2x + x + 1 = 0$ は $Z ∕(3)$ に解を持つか調べよ。
(2) $Z$ のイデアル $(12)$ による剰余環 $Z∕ (12 ) = {0,1,⋅⋅⋅ ,11-}$ において次の問に答えよ。
$(2.1 ) x$ の方程式 $2 --x = 4$ を解け。
$(2.2 ) x$ の方程式 $4x + 1-= 0-$ は $Z ∕(12 )$ に解を持つか調べよ。

(1)複素数体の部分環 $Z [i] = {a + bi : a,b ∈ Z }$ のイデアル $(1 + 3i)$ による剰余環 $R = Z [i]∕(1 + 3i)$ を考える。 $α ∈ Z [i]$ を含む $R$ の剰余類を $α-$ と記す。
$1 + 3i ∈ (1 + 3i)$ より， $------ --1 + 3i = 0$ 。従って， $-- -- --1 + 3i = 0$ 。 $i$ をかけて， $- -- --i - 3 = 0$ ，即ち， $- --i = 3$ である。このことから， $--- --10 = 0$ を示せ。
(2)環の準同型 $φ : Z -→ R$ を $φ(n ) = n-(n ∈ Z )$ と定める。このとき， $Ker φ = (10)$ を示せ。 (実は $φ$ は全射なので，準同型定理より $Z ∕(10) ~= Z [i]∕)(1 + 3i)$ である。)

(1) $(1.1 )$ 次のような表をかけばよい。
$table$
したがって，解は $--x = 1$
$(1.2 )$ 上と同様に次のような表をかけばよい。
$table$
したがって，この方程式は $Z ∕(3)$ の中に解を持たない。
(2) $(2.1 )$ これも(1) と同様すべて元を代入して表を作ればよい。 $table$ したがって，この方程式の解は $-- -------x = 2, 4,8,10$ である。 $(2.2 )$ これも表を作れば下のようになる。 $table$ 以上から，この方程式は $Z ∕(12)$ の中に解を持たない。

(1)(証明)
$- --i = 3$ より， $- - -- --i ⋅ i = 3 ⋅3$ である。よって， $--- --- 1 = 9$ であるから， $--- --10 = 0$

$□$
(2)(証明)
(1) の結果から， $--- --10 = 0$ であるから， $n ∈ Z$ に対し， $--- -- --φ(10n ) = φ(10)φ (n) = 10 ⋅n = 0$ なので， $(10) ⊂ Ker φ$ であることはよいから， $Ker φ ⊂ (10)$ を示せばよい。 $n ∈ Ker φ$ ，すなわち $-- --n = 0$ であるとすると，ある $Z [i]$ の元 $a + bi (a, b ∈ Z )$ が存在して， $n = (a + bi)(1 + 3i)$ となる。このとき， $n = (a - 3b) + (3a + b)i$ であるから，虚部を比較して $3a + b = 0$ 。よって $b = - 3a$ であり，これより実部を比較すれば $n = a - 3 ⋅ (- 3a) = 10a$ したがって， $n ∈ (10)$ である。ゆえに $Ker φ ⊂ (10)$

$□$