環論演習3

理学部　数理・自然情報科学科　西田憲司

演習問題

問 1.

(1)体 $K$ のイデアルはゼロイデアル $0(=(0))$ と $K$ 自身 $K(=(1))$ の2つのみであることを示せ。逆に，可換環 $R$ がゼロイデアルと $R$ 自身の 2 つしかイデアルを持たないならば $R$ は体であることを示せ。
(2)環 $Z[x]$ の中で， $(2) ∩ (x)=(2x)$ であることを示せ。

問 2.

(1) $a,b$ は整数とするとき， $(*)⋅⋅⋅$ $(a) ⊂ (b) ⇔ b|a$ を証明せよ。 $(*)$ を用いて次を示せ：
$(1.1) (12) + (36) ⊂ (6) (1.2) (24) ⊂ (6) ∩ (8)$
(2) 計算により $(1.1), (1.2)$ の逆の包含関係 $⊃$ を示し，
$(12) + (30 ) = (6 ) (24) = (6) ∩ (8)$
を証明せよ。

解答

問 1.

(1) (証明)
$𝔞$ を $0$ でない $K$ のイデアルとすると， $𝔞$ は $0$ でない $K$ の元 $a$ を含むから，イデアルの定義により $1 = a-1a ∈ 𝔞$ である。よって任意の $K$ の元 $x$ に対して， $x = x1 ∈ 𝔞$ となり $K ⊂ 𝔞$ である。したがって， $𝔞 = K$ であるから，体 $K$ のイデアルは $0$ と $K$ 自身の 2 つである。

逆に可換環 $R$ が $0$ と $K$ 自身の 2 つしかイデアルをもたないとする。このとき，任意の $0$ でない $R$ の元 $a$ に対し， $a$ で生成されるイデアル $(a) = Ra$ はゼロイデアルではないから，仮定によりこれは $R$ 自身となる。したがって， $Ra = R$ であるから， $ba = 1$ となるような $R$ の元 $b$ が存在するので， $a$ は単数。今， $a$ は任意の $0$ でない $R$ の元であったから， $R$ は体である。

$□$
(2) (証明)
$(2) ∩ (x) ⊃ (2x )$ であること。
$(2x)$ の任意の元は $2x ⋅ f(x) (f(x) ∈ Z [x ])$ と表せるから， $2x ⋅ f(x) ∈ (2)$ かつ $2x ⋅ f(x) ∈ (x)$ である。

$(2) ∩ (x) ⊂ (2x )$ であること。
$f(x) ∈ (2) ∩ (x )$ とし， $f(x) = a0 + a1x + ⋅⋅⋅ + amxm (a0,...,am ∈ Z )$ とおく。このとき， $f(x) ∈ (2)$ より， $a0,...,am ∈ 2Z$ であり $f (x ) ∈ (x )$ より， $a0 = 0$ である。したがって， $ai = 2a′i$ とおけば， $f (x ) = 2a′1x + ⋅⋅⋅ + 2a′mxm = 2x(a′1 + ⋅⋅⋅ + a ′mxm -1)$ であるから $f(x ) ∈ (2x)$ である。

$□$

問 2.

(1) (証明)
$(a) ⊂ (b) ⇒ b|a$
$(b)$ の任意の元は $bx (x ∈ Z )$ と表せる。今， $(a) ⊂ (b)$ より， $a ∈ (b)$ であるから， $a = bx$ となるような $x ∈ Z$ が存在するので， $b|a$ である。

$(a) ⊂ (b) ⇐ b|a$
仮定から $b|a$ であるから $a = bk$ とおいておけば，任意の $ax ∈ (a) (x ∈ Z )$ に対して， $ax = bkx ∈ (b)$ である。したがって， $(a) ⊂ (b)$ である。
以上から， $(*)$ が証明された。
$(12) + (30 ) ⊂ (6 )$ であること。
$(*)$ より， $(12) ⊂ (6), (30) ⊂ (6)$ である。 $(12) + (30)$ は $(12)$ と $(30)$ を含む最小のイデアルであるから， $(12) + (30 ) ⊂ (6 )$ である。
$(24) ⊂ (6) ∩ (8)$ であること。
$(*)$ より， $(24 ) ⊂ (6 ), (24) ⊂ (8)$ であるから，任意の $x ∈ (24 )$ に対して $x ∈ (6)$ かつ $x ∈ (8)$ である。したがって， $x ∈ (6) ∩ (8)$ より， $(24 ) ⊂ (6 ) ∩ (8)$ である。

$□$
(2) (証明)
$(12) + (30 ) ⊃ (6 )$ であること。
$(6)$ の任意の元 $6x (x ∈ Z )$ が， $12a + 30b (a,b ∈ Z )$ の形に表せることを示せばよい。 $2$ と $5$ は互いに素であるから， $2s + 5t = 1$ となるような整数 $s,t$ が存在する。したがって， $a = sx, b = tx$ とおけば， $6x = 6x (2s + 5t) = 12sx + 30tx = 12a + 30b$ となる。

$(24) ⊃ (6) ∩ (8)$ であること。
任意の $x ∈ (6) ∩ (8)$ に対して， $6|x$ かつ $8|x$ であるから， $24|x$ である。

$□$