環論演習2

理学部　数理・自然情報科学科　西田憲司

演習問題

問1.

(1)教科書問題 2.1，問2
「 $f(x) ∈ R [x], a ∈ R$ とする。このとき， $f(x)$ が既約 $⇔ f(x + a)$ が既約」を示せ。
(2)(1) を利用し，素数 $p$ に対して，

$p-1 p-2 f(x) = x+ x+ ⋅⋅⋅ + x + 1$
が $Z [x]$ の多項式として既約であることを示せ。

問 2.

$f (x) ∈ Q[x]$ は次数 3 の多項式とする。
命題「 $f(x)$ が $Q$ の中に根を持たないならば， $f(x)$ は既約」
を証明せよ。次に，この命題の逆を書き，証明せよ。

解答

問1.

(証明)

対偶をとり，「 $f(x)$ が可約 $⇔ f(x + a)$ が可約」であることを示す。
$f (x)$ が既約でないとすれば， $f(x) = g(x )h (x)$ となるような， $g(x),h(x) ∈ R [x]$ （ただし $deg (g(x)),deg(h(x)) ≥ 1$ ）が存在する。このとき， $f(x + a) = g(x + a)h(x + a)$ であり， $g(x + a ), h(x + a )$ はいずれも次数 1 以上であるから $f (x + a )$ は可約である。逆に， $f (x + a )$ が可約ならば上の結果から， $f(x + a + (- a)) = f(x)$ は可約である。

$□$

問2.

(証明)

3次の多項式 $f(x )$ が可約であるとし， $f (x) = g(x)h(x)$ であるとすれば， $g(x ), h(x )$ のいずれかの次数は 1 でなくてはならない。それを $g(x) = x - a (a ∈ Q )$ とすれば， $f (x )$ は $a$ を根に持つ。したがって， $f(x)$ が $Q$ の中に根を持たないならば， $f (x)$ は既約である。