環論演習1

理学部　数理・自然情報科学科　西田憲司

演習問題

問1.

環 $Z ∕7Z, Z∕8Z$ の単数を求めよ。
環 $R$ の元 $x$ が，ある正整数 $n$ に対し， $xn = 0$ を充たすとき，ベキ零という。
$x$ がベキ零ならば $1 + x$ は単数であることを示せ。

問2.

例12の環 $R = Z + Z ε$ に対し，単数の全体 $R ×$ を求めよ。

解答

問1.

$Z ∕7Z$ について
$-- -- -- -- 2 ⋅ 4 = 8 = 1$ であるから $-- --2, 4$ は単数である。同様に，
$-- -- --- --3 ⋅ 5 = 15 = 1$ であるから $-- --3, 5$ は単数であり，
$-- -- --- --6 ⋅ 6 = 36 = 1$ であるから $-- 6$ もまた単数である。単位元 $-- 1$ はもちろん単数。
したがって， $Z ∕7Z$ の単数は $-- -- ---- -- --1, 2, 3,4, 5, 6$ である。

$Z ∕8Z$ について
$-- -- -- --2 ⋅ 4 = 8 = 0$ より， $-- --2, 4$ は零因子なので単数ではない。
$-- -- -- -- 3 ⋅ 3 = 9 = 1$ であるから， $--3$ は単数である。
$5 ⋅ 5 = 25-= 1$ であるから， $5-$ は単数である。
$-- -- --- --6 ⋅ 4 = 24 = 0$ より， $--6$ は零因子なので単数ではない。
$-- -- --- --7 ⋅ 7 = 49 = 1$ より， $--7$ は単数である。以上から，
$Z ∕8Z$ の単数は $---- -- --1,3, 5, 7$ である。
(証明) $x$ がベキ零ならば， $xn = 0$ をみたすような $n ∈ N$ が存在する。このとき， $m ≥ n$ なる任意の $m ∈ N$ に対して $mx = 0$ であるから，そのような $m$ を奇数としてとれば，

である。したがって， $1 + x$ は単数である。
$□$

問2.

$R$ の単位元は1である。実際任意に $R$ の元 $a + bε (a,b ∈ Z )$ をとれば，
$(a + bε)(c + dϵ) = a + bε ⇐ ⇒ ac = a, ad + bc = b ⇐ ⇒ c = 1, d = 0$
である。 $a + bϵ ∈ R (a,b ∈ Z )$ を単数とし， $c + dε (c.d ∈ Z )$ をその逆元とすると，
$ab + (ad + bc)ε = 1$ であるから， $ac = 1$ かつ $ad + bc = 0$ である。今， $a,b,c,d ∈ Z$ であるから， $ac = 1$ より $a = ｱ1$ となる。逆に， $a + bε$ は $a = ｱ1$ ならば， $a - bε$ を逆元にもつような単数であることがわかるから， $R × = {a + bε | a = ｱ1, b ∈ Z }$ である。