代数学入門

花木章秀

Chapter 2
群

2.1 群の定義と例

すべての元が正則元であるモノイドを群 (group) という。すなわち、演算の定義された集合 $G$ で

(G1) [結合法則]: 任意の $a, b,c ∈ G$ について $a (bc) = (ab)c$ である。
(G2) [単位元の存在]: ある $e ∈ G$ が存在して、任意の $a ∈ G$ に対して $ea = ae = a$ である。 (このとき $e$ を $1G$ とも書く。)
(G3) [逆元の存在]: 任意の $a ∈ G$ に対して、ある $b ∈ G$ が存在して $ab = ba = e$ である。 (このときの $b$ を $a-1$ と書く。)

がすべて成り立つとき $G$ を群という。群は半群やモノイドの特別なものであるから、それらに対して成り立つことはすべて成り立つ。群 $G$ において、更に

(G4): [交換法則] 任意の $a, b ∈ G$ について $ab = ba$ である。

が成り立つとき $G$ をアーベル群 (abelian group)、または可換群 (commutative group) という。

命題2.1.1. 群 $G$ について次が成り立つ。

(1) [簡約法則] $ax = ay$ ならば $x = y$ である。また $xa = ya$ ならば $x = y$ である。
(2) $f : G → G$ ( $- 1x ↦→ x$ ) は全単射である。
(3) $a ∈ G$ を一つ固定するとき

$ga : G → G (x ↦→ xa)ha : G → G (x ↦→ ax)ka : G → G (x ↦→ a-1xa)$

はすべて全単射である。

証明. (1) $ax = ay$ とすると、両辺に左から $- 1a$ をかけて $x = y$ となる。逆も同様である。 (2) $(x-1)-1 = x$ より $f2 = idG$ となり $f$ は全単射である。 (3) $ga ∘ ga-1 = ga-1 ∘ ga = idG$ となり $ga$ は全単射である。他も同様である。

$□$

命題2.1.2. 群 $G$ において、任意の $x ∈ G$ が $x2 = 1$ を満たすならば、 $G$ はアーベル群である。

証明. 任意の $x ∈ G$ に対して $2x = 1$ より $-1x = x$ である。よって任意の $a,b ∈ G$ に対して $(ab)-1 = ab$ である。一方 $(ab)-1 = b-1a-1 = ba$ であるから $ab = ba$ となる。

$□$

例2.1.3. $ℚ ♯ = ℚ - {0 }$ とおく。このとき $ℚ ♯$ は乗法に関してアーベル群で、単位元は $1$ 、 $a ∈ ℚ ♯$ の逆元は $1∕a$ である。 $ℝ ♯ = ℝ - {0}$ , $ℂ ♯ = ℂ - {0}$ でも同様である。

例2.1.4.

(1) $ℚ$ は乗法に関してモノイドではあるが群ではない。なぜならば $0$ に逆元がないからである。
(2) $ℤ♯ = ℤ - {0 }$ は乗法に関してモノイドではあるが群ではない。なぜならば $2$ に逆元がないからである。

命題2.1.5. $M$ をモノイドとし $U$ を $M$ の正則元全体の集合とする。このとき $U$ は $M$ の演算で群になる。

証明. $a,b ∈ U$ ならば $ab ∈ U$ なので演算は $U$ で定義される。また $1 ∈ U$ より $U$ はモノイドである。 $a ∈ U$ ならば $a-1 ∈ U$ も成り立ち $U$ は群である。

$□$

この命題の $U$ を $U (M )$ と書いて $M$ の単数群 (unit group) という。

例2.1.6.

(1) $ℚ$ は乗法に関してモノイドである。その単数群は $♯U(ℚ ) = ℚ = ℚ - {0}$ である。
(2) $ℤ$ は乗法に関してモノイドである。その単数群は $U (ℤ ) = { - 1, 1}$ である。

例2.1.7 (対称群). モノイド $XX$ (例 1.7.5 ) について、その単数群 $U(XX )$ を $X$ 上の対称群 (symmetric group) といい、これを $S (X )$ と書くことにする。 $S (X )$ の元は $X$ から $X$ への全単射で、それを $X$ 上の置換 (permutation) という。置換を具体的に書くには

( ) xS (X ) ∋ σ = σ (x)

のように書く。特に $|X | = n$ のとき、 $X = {1,2,⋅⋅⋅ ,n }$ と考えても本質的には同じである。このとき $S(X )$ を $Sn$ とも書き、これを $n$ 次対称群という。 $Sn$ の元を $n$ 次の置換という。

例2.1.8. $3$ 次対称群 $S3$ の元をすべて書くと以下のようになる。

( ( ) ( ) ( ) ) ||{ 1 2 3 , 1 2 3 , 1 2 3 ,||} ( 1 2 3 ) ( 1 3 2 ) ( 2 1 3 )S3 = | 1 2 3 1 2 3 1 2 3 | |( 2 3 1 , 3 1 2 , 3 2 1 |)

元の積は以下のようになる。

( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 3 2 = 3 2 1

右の置換を先に行い、例えば $1$ については $1 ↦→ 1 ↦→ 3$ となる。逆元は上の行と下の行を入れ替えて

( ) -1 ( ) ( ) 1 2 3 2 3 1 1 2 3 2 3 1 = 1 2 3 = 3 1 2

と計算できる。置換を表す列の並びは元の対応を表しているだけなので、列を並び替えても構わない。

問2.1.9. $S3$ の演算表を書け。

問2.1.10. $n ≥ 3$ のとき $Sn$ はアーベル群ではないことを、具体的に $στ ⁄= τσ$ なる $σ,τ ∈ Sn$ を見つけることによって示せ。

群 $G$ について、 $|G | < ∞$ のとき $G$ を有限群 (finite group) という。また $|G | = ∞$ のとき $G$ を無限群 (infinite group) という。 $|G| < ∞$ のとき $|G |$ を $G$ の位数 (order) という。

問2.1.11. $n$ 次対称群 $Sn$ の位数は $n!$ であることを示せ。

例2.1.12 (一般線形群). $ℝ$ を成分とする $n$ 次正方行列の全体を $M (n,ℝ )$ と書く。 $M (n, ℝ)$ が行列の積によって単位行列を単位元とするモノイドである。その単数群を $ℝ$ 上 $n$ 次の一般線形群 (general linear group) といい $GL (n,ℝ )$ と書く。 $M (n,ℝ )$ の単数は正則行列のことであるから $GL (n,ℝ )$ は正則行列全体の集合である。 $GL (n, ℝ)$ は無限群である。

$GL (n,ℚ )$ , $GL (n,ℂ )$ も同様である。

(これらは $Mn (ℝ)$ , $GLn (ℝ )$ などとも書かれる。)

問2.1.13. $n ≥ 2$ のとき $GL (n, ℝ)$ はアーベル群ではないことを示せ。

問2.1.14. $A$ をモノイドで、集合として有限集合であるとする。右簡約法則「 $x, y,z ∈ A$ に対して $xz = yz$ ならば $x = y$ である」が成り立つとすると $A$ は群になる。これを示せ。また $A$ が有限集合ではないとき、これは正しくない。そのような例を具体的に一つ示せ。

2.2 加群

群 $G$ がアーベル群であるとき、その演算を加法の形で書くことが多い。このとき $G$ を加群(additive group)、または加法群という。加群の単位元を零元といい $0$ または $0G$ と書く。また $a$ の逆元は $- a$ と書く。群の定義を加法の形で書き直すと以下のようになる。

(A1) [結合法則]: 任意の $a,b,c ∈ G$ について $a + (b + c) = (a + b) + c$ である。
(A2) [零元の存在]: ある $0 ∈ G$ が存在して、任意の $a ∈ G$ に対して $0 + a = a + 0 = a$ である。
(A3) [逆元の存在]: 任意の $a ∈ G$ に対して、ある $b ∈ G$ が存在して $a + b = b + a = 0$ である。 (このときの $b$ を $- a$ と書く。)
(A4) [交換法則]: 任意の $a,b ∈ G$ について $a + b = b + a$ である。

加群 $G$ において $a + (- b)$ を $a - b$ と書く。

例2.2.1. $ℤ$ , $ℚ$ , $ℝ$ , $ℂ$ は (通常の加法によって) すべて加群である。 $ℕ$ は加群ではない。

$n ∈ ℕ$ に対して、加群 $G$ の元 $a$ を $n$ 個加えたものを $na$ と書く。また $- a$ を $n$ 個加えたものを $- na$ と書く。また $0a = 0$ と定める。これによって任意の $m ∈ ℤ$ に対して $ma$ が定義され、以下が成り立つ。 $a,b ∈ G$ , $m, n ∈ ℤ$ とする。

(1) $(- m )a = m(- a) = m (- a)$ である。特に $(- 1)a = - a$ である。
(2) $(m + n )a = ma + na$
(3) $m (na) = (mn )a$
(4) $m (a + b) = ma + mb$

ここで (2), (3), (4) は通常の意味の分配法則、結合法則ではないことに注意する。

2.3 部分群

群 $G$ の空でない部分集合 $H$ が

(B1): $a, b ∈ H$ ならば $ab ∈ H$ である。
(B2): $a ∈ H$ ならば $-1a ∈ H$ である。

を満たすとき、 $H$ を $G$ の部分群 (subgroup) という。

命題2.3.1. 群 $G$ の空でない部分集合 $H$ について以下は同値である。

(1) $H$ は $G$ の部分群である。
(2) $H$ は $G$ の演算によって群である。
(3) $a,b ∈ H$ ならば $ab- 1 ∈ H$ である。

証明. (1) $=⇒$ (2) $H$ を $G$ の部分群とする。 (B1) より $a, b ∈ H$ ならば $ab ∈ H$ であるから $G$ の演算は $H$ の演算を定義する。結合法則は $G$ で成り立つので $H$ でも成り立つ。また $H$ は空でないからある元 $a$ を含む。このとき (B2) より $a-1 ∈ H$ でもある。よって $-11G = aa ∈ H$ であり $1G$ は $H$ においても単位元である。 (B2)により任意の元の逆元も存在する。

(2) $=⇒$ (3) 群の定義より明らかである。

(3) $=⇒$ (1) $H$ は空でないから $a ∈ H$ をとると $1 = aa-1 ∈ H$ である。任意に $a ∈ H$ をとる。このとき $1 ∈ H$ より $a-1 = 1a-1 ∈ H$ である。よって (B2) が成り立つ。最後に任意に $a,b ∈ H$ をとる。 (B2) より $- 1b ∈ H$ である。したがって $ab = a (b- 1)- 1 ∈ H$ となり (B1) が成り立つ。

$□$

命題2.3.2. $H, K$ が共に $G$ の部分群であるとき $H ∩ K$ も $G$ の部分群である。

証明. $a,b ∈ H ∩ K$ とする。 $ab- 1 ∈ H ∩ K$ を示せばよい。 $a ∈ H$ , $b ∈ H$ であるから $H$ が部分群であることにより $ab -1 ∈ H$ である。同様に $K$ が部分群であることにより $ab- 1 ∈ K$ である。よって $ab- 1 ∈ H ∩ K$ である。

$□$

群 $G$ の部分集合 $A,B$ に対して

AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B }A -1 = {a -1 | a ∈ A }

と定める。特に $B = {b}$ のときには $A{b}$ を $Ab$ とも書く。 $bA$ も同様である。

Ab = {ab | a ∈ A }, bA = {ba | a ∈ A }

問2.3.3. 群 $G$ と、その部分集合 $A,B, C$ に対して、次が成り立つことを示せ。

(1) $A (BC ) = (AB )C$
(2) $- 1- 1(A ) = A$
(3) $-1 -1 -1(AB ) = B A$

問2.3.4. 群 $G$ と、その空でない部分集合 $H$ に対して、以下は同値であることを示せ。

(1) $H$ は $G$ の部分群である。
(2) $HH ⊂ H$ かつ $-1H ⊂ H$
(3) $-1HH ⊂ H$

問2.3.5. $H$ が群 $G$ の部分群であるとき

HH = HH -1 = H -1 = H

が成り立つ。これを示せ。

注意. 上記の計算を群の元の計算と混同してはいけない。例えば $HH -1 = 1$ は一般に正しくない。 (なぜ正しくないのかを考えよ。)

命題2.3.6. 群 $G$ と、その空でない部分集合 $H$ に対して、 $|H | < ∞$ かつ $HH ⊂ H$ ならば $H$ は $G$ の部分群である。

証明. $h ∈ H$ に対して $h-1 ∈ H$ を示せばよい。 $HH ⊂ H$ より $h2 ∈ H$ であり、同様にに繰り返せば、任意の $n ∈ ℕ$ に対して $hn ∈ H$ である。 $H$ は有限集合であるから、すべての $hn$ が異なることはできず、したがってある $m, n ∈ ℕ$ , $m < n$ が存在して $m nh = h$ となる。このとき簡約法則によって $n- mh = 1$ である。 $n - m = 1$ ならば $1 = h ∈ H$ であり、 $-1h = 1 ∈ H$ である。 $n - m > 0$ のとき $n - m - 1 ≤ 0$ であって、よって $h-1 = hn -m-1 ∈ H$ となる。

$□$

命題2.3.7. $H, K$ が群 $G$ の部分群であるとき次が成り立つ。

(1) $HK$ が $G$ の部分群であるための必要十分条件は $HK = KH$ である。
(2) $L$ が $H$ を含む $G$ の部分群であるならば $(HK ) ∩ L = H (K ∩ L )$ である。

証明. (1) $HK$ が $G$ の部分群であるとする。このとき $-1(HK ) = HK$ である。一方 $H - 1 = H$ , $K -1 = K$ なので $(HK )-1 = K - 1H -1 = KH$ となるので $HK = KH$ となる。

次に $HK = KH$ であるとする。このとき $-1 -1 -1(HK )(HK ) = HKK H = HKKH = HHKK = HK$ であるから $HK$ は $G$ の部分群である。

(2) $x ∈ HK ∩ L$ とする。 $x ∈ HK$ より $h ∈ H$ と $k ∈ K$ が存在して $x = hk$ である。 $x ∈ L$ であって $h ∈ H ⊂ L$ であるから $k = h- 1x ∈ L$ である。よって $k ∈ K ∩ L$ となり $x = hk ∈ H (K ∩ L )$ である。以上より $(HK ) ∩ L ⊂ H (K ∩ L)$ となる。

$y ∈ H (K ∩ L )$ とする。ある $h ∈ H$ と $k ∈ K ∩ L$ が存在して $y = hk$ である。このとき $y = hk ∈ HK$ であり、 $h ∈ H ⊂ L$ であるから $y = hk ∈ L$ も成り立つ。よって $y ∈ HK ∩ L$ であり $H (K ∩ L ) ⊂ HK ∩ L$ である。

以上により $(HK ) ∩ L = H (K ∩ L )$ が成り立つ。

$□$

群 $G$ において $G$ 自身と ${1}$ は $G$ の部分群である。これらを $G$ の自明な部分群(trivial subgroup) という。また $G$ と異なる部分群を真部分群 (proper subgroup) という。

$S$ を群 $G$ の部分集合とする。

n1 n2 nra1 a2 ⋅⋅⋅ar (ai ∈ S,ni ∈ ℤ, r ∈ ℕ )

の形の元すべての集合は $G$ の部分群である。これを $⟨S⟩$ と書き、 $S$ で生成される部分群(subgroup generated by $S$ ) という。 $S$ が有限集合 ${s1,⋅⋅⋅ ,sℓ}$ であるとき $⟨S ⟩$ を $⟨s1⋅⋅ ⋅ ,sℓ⟩$ とも書く。

特に $S = {a}$ のとき

⟨a⟩ = {an | n ∈ ℤ } = {⋅⋅⋅ ,a-2,a-1,1,a, a2,⋅⋅⋅}

である。これを $a$ で生成される巡回群 (cyclic group) といい $a$ をその生成元 (generater) という。部分群 $⟨a⟩$ の位数を元 $a$ の位数 (order) といい $o(a)$ と書く。

問2.3.8. $⟨S ⟩$ が部分群であることを示せ。

命題2.3.9. 巡回群 $⟨a⟩$ について次が成り立つ。

(1) となるが存在すればは有限巡回群である。となるのうち最小のものををすればであって次が成り立つ。
1. (i) $ma = 1$ $⇐ ⇒$ $n | m$
2. (ii) $⟨a⟩ = {1,a,a2,⋅⋅⋅ ,an-1}$ であって、これらの元はすべて相異なる。
(2) $⟨a⟩$ が無限巡回群ならば
$-2 -1 2⋅⋅⋅ ,a ,a ,1,a, a ,⋅⋅⋅$
はすべて相異なり $⟨a⟩$ はこれらの元からなる。

証明. (1) まず $am = 1$ となる $m ∈ ℕ$ が存在すると仮定して (i) $am = 1$ $⇐ ⇒$ $n | m$ を示す。

$ma = 1$ とすると $m = nq + r$ , $0 ≤ r < n$ なる $q,r ∈ ℤ$ が存在する。このとき

m n q r r1 = a = (a ) a = a

となるが $n$ の最小性から $r = 0$ である。よって $n | m$ である。 $n | m$ と仮定すれば、明らかに $m n m ∕na = (a ) = 1$ である。

(i) より $2 n-1⟨a⟩ = {1,a,a ,⋅⋅⋅ ,a }$ となることはすぐに分かる。これらがすべて異なることを示す。 $0 ≤ i < j < n$ に対して $ai = aj$ とすると $aj-i = 1$ , $0 < j - i < n$ となり $n$ の最小性に反する。よってこれらはすべて異なり $o(a) = |⟨a⟩| = n$ である。

(2) $⋅⋅⋅ ,a- 2,a -1,1,a,a2,⋅⋅⋅$ がすべて異なることを示せばよい。 $i < j$ ( $i,j ∈ ℤ$ )に対して $i ja = a$ と仮定すると、前と同様に $j-ia = 1$ , $0 < j - i$ となり $⟨a⟩$ は有限巡回群になる。よって、これらの元はすべて異なる。

$□$

2.4 剰余類

$H$ を群 $G$ の部分群とする。 $G$ 上の関係 $~$ を「 $aH = bH$ のとき $a ~ b$ 」で定める。このとき $~$ は $G$ 上の同値関係であることを示そう。

まず、任意の $a ∈ G$ に対して $aH = aH$ であるから $a ~ a$ である。次に $a ~ b$ と仮定する。このとき $aH = bH$ であるから $bH = aH$ で $b ~ a$ が成り立つ。 $a ~ b$ かつ $b ~ c$ と仮定すれば $aH = bH = cH$ であるから $a ~ c$ である。以上より $~$ は同値関係である。

命題2.4.1. $H$ を群 $G$ の部分群 $H$ とする。 $a,b ∈ G$ について次の条件は同値である。

(1) $a ~ b$ (すなわち $aH = bH$ )
(2) $b ∈ aH$
(3) $a ∈ bH$
(4) $a-1b ∈ H$

証明. (1) $=⇒$ (2) $b = b1 ∈ bH = aH$ である。

(2) $=⇒$ (3) $b ∈ aH$ とすると、ある $h ∈ H$ が存在して $b = ah$ である。このとき $h- 1 ∈ H$ であるから $a = bh-1 ∈ bH$ である。

(3) $=⇒$ (4) $a ∈ bH &$ とすると、ある $h ∈ H$ が存在して $a = bh$ である。このとき $a-1b = h- 1 ∈ H$ である。

(4) $= ⇒$ (1) ある $h ∈ H$ が存在して $a-1b = h$ である。このとき $a = bh-1$ , $b = ah$ に注意しておく。

任意の $h1 ∈ H$ に対して $-1ah1 = bh h1 ∈ bH$ であるから $aH ⊂ bH$ が成り立つ。任意の $h2 ∈ H$ に対して $bh2 = ahh2 ∈ aH$ であるから $bH ⊂ aH$ が成り立つ。以上より $aH = bH$ である。

$□$

以上のことは関係 $~$ を $Ha = Hb$ で定義しても同様に成り立つ。

$aH$ を $H$ の左剰余類 (left coset) といい、左剰余類全体の集合を $G ∕H$ と書く。同様に $Ha$ を $H$ の右剰余類 (right coset) といい、右剰余類全体の集合を $H \ G$ と書く。

$~$ は同値関係で左剰余類はその同値類となるので、左剰余類に関する類別

⋃G = aiH i∈I

が得られる。

問2.4.2. $⋃G = i∈I aiH$ が左剰余類に関する類別であることと、 $⋃G = i∈I Hai- 1$ が右剰余類に関する類別であることは同値であることを示せ。

例2.4.3. $3$ 次対称群 $S3$ を考える。 $S3$ の元は

( ) ( ) ( )g = 1 2 3 , g = 1 2 3 , g = 1 2 3 , 1 ( 1 2 3 ) 2 ( 1 3 2 ) 3 ( 2 1 3 ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3g4 = 2 3 1 , g5 = 3 1 2 , g6 = 3 2 1

である。

$H = ⟨g2⟩ = {g1, g2}$ として左剰余類を考えてみると

g H = g H = {g ,g } 1 2 1 2g3H = g4H = {g3,g4}g5H = g6H = {g5,g6}

である。一方、右剰余類は

Hg1 = Hg2 = {g1,g2}Hg = Hg = {g ,g } 3 5 3 5Hg4 = Hg6 = {g4,g6}

である。よってこの場合、左剰余類による類別と右剰余類による類別は異なっている。

$K = ⟨g ⟩ = {g ,g ,g } 4 1 4 5$ として左剰余類を考えてみると

g1H = g4H = g5H = {g1,g4,g5}g2H = g3H = g6H = {g2,g3,g6}

であり、右剰余類も

Hg1 = Hg4 = Hg5 = {g1,g4,g5}Hg2 = Hg3 = Hg6 = {g2,g3,g6}

となる。よってこの場合、左剰余類による類別と右剰余類による類別は一致している。

上の例のように、左剰余類による類別と右剰余類による類別が一致するとき、言い換えれば $aH = Ha$ が任意の $a ∈ G$ について成り立つとき、 $H$ を $G$ の正規部分群(normal subgroup) という。特に $G$ がアーベル群ならば任意の部分群は正規部分群である。

問2.4.4. $G$ を有限群とし $H$ をその部分群とする。任意の $a ∈ G$ に対して $|aH | = |H |$ であることを示せ。また、異なる左剰余類の数を $|G : H |$ と書くとき $|G | = |G : H ||H |$ であることを示せ。 (これをLagrange の定理という。また $|G : H |$ を $G$ における $H$ の指数 (index) という。右剰余類についても同様のことが成り立つ。)

2.5 剰余群

$G$ を群とし $N$ をその正規部分群とする。このとき、任意の $a ∈ G$ について $aN = N a$ である。よって剰余類は右、左の区別をする必要がない。剰余類全体の集合 $G∕N$ に以下のような演算を考える。

(aN )(bN ) = (ab)N

まずこれが矛盾なく定義されることを示す。

この場合 $aN = a′N$ となる $a′ ∈ G$ が存在するかもしれない。違う $a′$ を使うと結果が変わってしまうというのでは演算 (写像) が定義されているとはいえない。したがって、演算が矛盾なく定義されるためには $′aN = aN$ かつ $′bN = bN$ と仮定したとき $′ ′(ab)N = (a b)N$ が成り立たなければならない。